3-次序统计量

一、次序统计量(或称顺序统计量)及其分布定义个次序统计量，称为该样本的第则为按从小到大的顺序排列的样本，将是来自总体设iXXXX,X,X,XX,X,,XXinnn)()()2()1(2121统计量称为该样本的最小次序(1)X统计量称为该样本的最大次序)(nX注：.XXXn同既不独立，分布也不相，，，次序统计量)((2)(1)独立同分布，，在一个简单随机样本中n,X,,XX21.量分布也不相同而且任何两个次序统计函数次序统计量和经验分布1、单个次序统计量的分布定理1的密度函数为量个次序统计则第分布函数密度函数为的的样本，且是来自总体设)(21),(),(knxkxFxpXX,X,,XX)())(-(1))(()!()!1(!)(1xpxFxFn-kk-nxpn-kk-k证明：xxx)()(xxXxPk)()(xFxxFkk1kn1k)()()()!()!1!1(!1xFxxFxFknknkknxxF)(1)()(xFxxFkk)()()()!()!1!1(!1xFxxFxFknknkknxxF)(1则xxFxxFkk)()(xxFxxFxFknknk)()()()!()!1(!1knxxF)(1)(0xpkx令)(0xpx令knxxF)(10)(xpkknkxFxpxFknkn)(1)()()!()!1(!1的密度函数为注：最小次序统计量(1)X)(1xp)()(1xpxFnn的密度函数为最大次序统计量)(nX)(xpn)()(11xpxFnn5(0,1),1现从中抽取一个容量为设总体分布为例U.)21((2))(XPXk的密度并计算的样本，试求的密度函数为解：)(kXknkxFxpxFknkn)(1)()()!()!1(!1)(xpkkkxxkk511)!(5)!1(5!10x的密度函数为(2)X)(xpk3120xx10x)21((2)XP2103)(120/dxxx320132、多个次序统计量的联合分布定理2的联合密度函数为则次序统计量分布函数密度函数为的的样本，且是来自总体设),,,(),(),()()()(2121rjjjnXXXxFxpXX,X,,XXrrrrrjrjrrrjjjjjjjnjjj-jjjj-jjrjjjryyyypypypyFyFyFyFyFyFn-j-jj-jnyy,yp212111112121121),()()()(1)](-)([)](-)([))(()!()!1-()!1(!),,(111211jy11jjyy1121jj11j证明：1jn2jy22jjyy1rjyrrjjyy),(zypij)()()!(1)!()!1(!1ypyFjnijiniknzF)(1)()()(1zpyFzFij注：的联合密度函数为),()()(jiXX的联合密度函数为),,,()()2()1(nXXXnnnnyyyypypypnyy,yp212121)(),()()(!),,(1、样本中位数为位数是有序样本，则样本中设50)((2))1(.nmx,,,xx.nxxn,xmnnn.为偶数为奇数),(21;1)2()2()21(50二、与次序统计量相关的常用统计量描述样本的中心位置注：中心位置的描述:中心位置的两个量常用来描述总体分布的总体均值、样本均值估计X1总体中位数、样本中位数估计2.样本中位数不受此害均值拉向自己一侧，而本的干扰，离群值会把样样本均值容易受离群值.尾均值代替样本均值若有离群值时，可用截何为截尾均值？.其余值的平均得的端一定比例的样本后求把样本排序，并截去两具有稳健性50.m1成绩表67666600727270696882767573721001009690892例.,5.0mx求解：50.m221)1()10()21()2(xxxxnn7215.70x3.791696661000，则截尾均值，最高分若去掉最低分2、样本分位数.npxxnp,xmnpnpnpp是整数若不是整数若),(21;1)()(1])([为分位数样本pmp(1))(XXRn样本极差25.075.0mmR样本四分位点间距.,易受离群值的影响表明了观测值的范围.,情况反映了样本取值的分散一半数据的极差部分之一数据后，样本中表明样本去掉两端各四.的变异性总体四分位数间距都可描述注：样本方差和样本的总体方差、样本方差估计1分位数距离与分位数总体、样本的四分位数间距估计25.075.02.离群值的影响者易受低估总体的变异性。后分之一的数据，有时会四响，但由于两端各去掉前者不易受离群值的影看变异性的；从变量数值大小的角度是比例的角度，样本方差四分位数间距是从样本同：的度量，两者的角度不说明：作为总体变异性1成绩表67666600727270696882767573721001009690893例.75.0m求解：750.m.npxxnp,xmnpnpnpp是整数若不是整数若),(21;1)()(1])([(16)1])([xxnp89的样本，来自总体分布为设例(0,1),,,421UXXXn.(1))(的密度函数求极差XXRn解：的联合密度函数为，(1))(XXn10)1)(()(21zy,yznnz,ypnn由公式可知dyryyprpnR),()(1rndyyrynn102)1)(()(11)(2rrnnn1,2)(nBe),(zypij)()()!(1)!()!1(!1ypyFjnijiniknzF)(1)()()(1zpyFzFij定理3的渐近分布为分位数时样本则当处连续且在分位数为其设总体密度函数为ppppmpnxpxxp,pxxp0,)()(),()()1(2pppxpn-pp,xN~m的渐近分布为样本中位数50.m)(415025050...xpn,xN~m样本分位数的抽样分布，密度函数为设总体分布为柯西分布例5xxxp,))((11);(2)arctan(121);(xxF解：分布函数为21021);(F50.x为该总体的中位数，即.,,,21的渐近分布样本中位数来自该总体的样本，求若nXXXn,N~m.4250)(415025050...xpn,xN~m2、五数概括与箱线图五值max3501minx,Q,,m,,Q,x.注：(1)minxx样本最小观察值)(maxnxx样本最大观察值50.m样本中位数2501.mQ第一四分位数5703.mQ第三四分位数.总体特征的简单图形利用上述统计量来反映箱线图.粗糙方法简单易行，但比较四班成绩504632181860606060606766666564727270696882767573729796908918minx97maxx60(8)1])0.25([29250xxm.67(15)50xm.73(22)1])0.75([29750xxm.五值9773676018,,,,,,1860739767箱线图6例