2016高中数学选修1-1课件--椭圆及其标准方程

2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程相框丰田汽车标志玉石通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？实验操作(1)取一条定长的细绳；(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.数学实验认真观察作图过程，回答下面的两个问题：•1.视笔尖为动点（M），两个图钉为定点（F1，F2），动点到两个定点的距离之和符合什么条件时其轨迹为椭圆？•2.请给椭圆下个定义。探究点1椭圆的定义根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？思考：结合实验，请同学们思考：椭圆是怎样定义的？（一）椭圆的定义平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的集合叫作椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2c）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：1212||||=2|FF|MFMFa（a为常数）（2a）MF1F2|MF1|+|MF2|＞|F1F2||MF1|+|MF2|=|F1F2||MF1|+|MF2|＜|F1F2|思考：在平面内动点M到两个定点F1，F2的距离之和等于定值2a的点的轨迹是否一定为椭圆？【提升总结】椭圆线段不存在用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。解(1)因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。(2)因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。跟踪训练(3)因|MF1|+|MF2|=3|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。探究点2椭圆的标准方程根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？（1）建系设点;（2）写出点集；（3）列出方程；（4）化简方程；（5）检验.学生活动♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于2a(2a2c0).请同学们自己完成剩下的步骤，求出椭圆的方程.解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1，F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2MOy122||||.MFMFa222212||(),||(),MFxcyMFxcy22222()().xcyxcya所以由椭圆的定义得因为222222244()()(),xcyaaxcyxcy222(),acxaxcy移项，再平方222221.xyaac整理得4222222222222,aacxcxaxacxacay两边再平方，得22222222()(),acxayaac222()aac两边同除以，得：222210().xyabab所以的方程椭圆为222-0(),bacab解令：1F2FxyOP22-,,acac请看图片：你能从图中找出表示的线段吗？ac22ca222210().yxabab似的也可以得到的方程类椭圆为2222210.()yxabab也把形如叫做椭圆的标准方程，2222110.xyabab我们把形如的方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在y轴上的椭圆.它表示焦点在x轴上的椭圆.1oFyx2FM12yoFFMx222210xyabab222210yxabab定义图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c的关系222bac{P||PF1|+|PF2|=2a,2a|F1F2|}12yoFFPxyxo2FPF1(abca,,中最大)（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1;（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上;（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.椭圆的标准方程有哪些特征呢？【提升总结】例1已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),并且经过点.求它的标准方程.53(,)22解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为22221(0).xyabab由椭圆的定义知222253532(2)()(2)()2102222a又因为,所以2c因此,所求椭圆的标准方程为221.106xy2221046.bac所以10.a能用其他方法求它的方程吗？另解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为:22221(0).xyabab224.ab22532222()()1ab又由已知，①②联立①②,22106ab解得，因此,所求椭圆的标准方程为:221.106xy(2,0),(2,0)，又∵焦点的坐标为例2：1、已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且|CF1|=2,则|CF2|=___.2212516xy变题：若椭圆的方程为,试口答完成（1）.22169144xy若方程表示焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围;22123xykk探究:若方程表示椭圆呢?5436(-3,0)、(3,0)8221916xy自主总结:课堂练习：11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx11624)6(22kykx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？22,ba若是,则判定其焦点在何轴？并指明，写出焦点坐标.?22(7),,0AxByCABC（）?221xyCCAB,,,,ABABCCCABxABCCAByAB当时是椭圆，因为,,0,所以若此时焦点在轴上；若则焦点在轴上。2.已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形MNF2的周长为（）A.10B.20C.30D.40192522yxByoF1F2MxN每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.