1.1.平面直角坐标系,伸缩变换

新课标人教版课件系列《高中数学》选修4－41.1.1《平面直角坐标系》（1）学会用坐标法来解决几何问题。（2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联系，知道图形之间是可以类与类变换的。（3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变换公式。教学目标教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。一．平面直角坐标系的建立思考:声响定位问题某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上）yxBACPo以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，yxBACPo则A(1020,0),B(－1020,0),C(0,1020)故|PA|－|PB|=340×4=1360由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.m10680用y=－x代入上式，得，∵|PA||PB|,5680x解决此类应用题的关键：1、建立平面直角坐标系2、设点（点与坐标的对应）3、列式（方程与坐标的对应）4、化简5、说明坐标法例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。(A)FBCEOyx以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，边AB所在的直线x轴，建立直角坐标系，由已知，点A、B、F的坐标分别为解：A(0,0),B(c,0),F(,0).2cC设点的坐标为,则点E的坐标为xy(x,y)（，）22.2222225||||5||bcaACABBC由，可得到，222225[()].xycxcy即22222250.xyccx整理得(,),(,),222xycBEcCFxy因为2()()0.222xcyBECFcx所以因此，BE与CF互相垂直.建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。具体解答过程见书本P4你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？xO2y=sinxy=sin2x二.平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.12通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：112xxyy上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点12,pxy（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sinxyx在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。223xxyy设点P（x,y）经变换得到点为,pxy（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。O2y=sinxy=3sin2xyx在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.12设点P（x,y）经变换得到点为通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。3123xxyy定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换'(0):'(0)xxyy的作用下，点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。0,0,pxy例2：在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=1213xxyy解：由伸缩变换代入2x+3y=01213xxyy得得x+y=023xxyy22代入x+y=1得2249xy+=11222133xxxxyyyy由伸缩变换得1.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线0xxyy1解：设伸缩变换，22代入x+y=1得22221xy224936xy又1312则1312xxyy得221xy2.在同一直角坐标系下经过伸缩变换后，曲线C变为，求曲线C的方程并画出图形。3xxyy2299xy22得9x-9y=922即x-y=122x-9y=93xxyy2.解：将代入3将曲线C经过伸缩变换x′＝2xy′＝13y后对应图形的方程为x2－y2＝1，则曲线C的焦点坐标为________．解析：由条件知点(2x，13y)在曲线x2－y2＝1上，∴4x2－y29＝1，∵a2＝14，b2＝9，∴c2＝a2＋b2＝374，∴c＝372，∴焦点坐标为(±372，0)．4．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x′＝12x，y′＝3y，则在这一坐标变换下正弦曲线y＝sinx的方程变为________．解析：∵x′＝12x，y′＝3y，∴x＝2x′，y＝13y′.代入y＝sinx得y′＝3sin2x′.答案：y′＝3sin2x′课堂小结：（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。