您好,欢迎访问三七文档
知识点一分数指数幂1.规定正数的正分数指数幂的意义是:mna=nam(a0,m,n∈N*,且n1);正数的负分数指数幂的意义是:mna=1nam(a0,m,n∈N*,且n1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a0,r,s∈Q);(2)(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);(3)(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).知识点二指数函数及其性质1.指数函数的定义一般地,函数y=ax(a0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.2.指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域R值域(0,+∞)过定点(0,1),即当x=0时,y=1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数知识点三对数的概念及对数的运算1.定义一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数.记作x=logaN,a叫做对数的底数,N叫做真数.2.特殊对数常用对数:以10为底数,记作lgN.自然对数:以e为底数,记作lnN,其中e`=2.71828….3.对数和指数的关系当a0,a≠1,N0时,ax=N⇔x=logaN.4.对数的性质(1)负数和0没有对数.(2)loga1=0.(3)logaa=1.(4)logaNa=N.(5)logaaN=N.5.对数的运算如果a0,且a≠1,M0,N0.那么:(1)loga(M·N)=logaM+logaN.(2)logaMN=logaM-logaN.(3)logaMn=nlogaM(n∈R).(4)logamMn=nmlogaM.6.对数的重要公式(1)换底公式:logbN=logaNlogab(a,b均大于零且不等于1);(2)logab=1logba,推广logab·logbc·logcd=logad.知识点四对数函数及其性质1.对数函数的定义一般地,我们把函数y=logax(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).2.对数函数的图象及其性质a10a1图象性质定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即当x=1时,y=0函数值的变化当0x1时,y0,当x1时,y0当0x1时,y0,当x1时,y0单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数知识点五幂函数1.幂函数的概念一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.2.幂函数的图象与性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1图象定义域RRR[0,+∞){x|x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在R上是增函数在(-∞,0)上是减函数;在[0,+∞)上是增函数在R上是增函数在[0,+∞)上是增函数在(-∞,0)上是减函数;在(0,+∞)上是减函数公共点(1,1)题型一指数幂、对数运算例1(1)(2017年4月学考)计算:lg4+lg25等于()A.2B.3C.4D.10(2)(2018年4月学考)已知函数f(x)=log2(3+x)+log2(3-x),则f(1)等于()A.1B.log26C.3D.log29答案(1)A(2)C解析(1)lg4+lg25=lg(4×25)=lg100=2.(2)f(1)=log2(3+1)+log2(3-1)=2+1=3.感悟与点拨(1)在指数幂运算中可先将根式化成分数指数幂,再按照指数幂的运算性质进行运算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序.(2)在对数运算中,要灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形,多个对数式要尽量化成同底的形式.跟踪训练1(1)已知函数f(x)=log2x,x>0,3-x+1,x≤0,则f(f(1))+flog312的值是()A.5B.3C.-1D.72(2)已知函数f(x)=13x+1,则f(log23)+flog419=________.答案(1)A(2)1解析(1)∵f(1)=log21=0,∴f(f(1))=f(0)=2.∵log312<0,∴flog312=31log23-+1=3log23+1=2+1=3.∴f(f(1))+flog312=2+3=5.(2)f(x)+f(-x)=13x+1+3x3x+1=1,又log419=222log3-=-log23,∴f(log23)+flog419=1.题型二函数的图象与性质例2函数f(x)=log2(2x)的图象大致是()答案A解析函数f(x)=log2(2x)=1+log2x,可由y=log2x的图象向上平移1个单位得到.y=log2x的图象过(1,0)点且在(0,+∞)上递增,其图象向上平移1个单位后,得到函数f(x)=log2(2x),图象过点12,0且在定义域内单调递增.感悟与点拨(1)①幂函数解析式一定要设为y=xα(α为常数的形式);②可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性.(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、轴对称变换得到其图象.(3)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对两层函数分别进行研究,有时也可利用平移等方法,从原来标准函数入手分析.(4)函数的单调性是函数最重要的性质,可以用来比较函数值的大小、解不等式等.跟踪训练2(1)已知lga+lgb=0,则函数f(x)=ax与函数g(x)=-logbx的图象可能是()(2)已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的大致图象为()答案(1)B(2)C解析(1)∵lga+lgb=0,∴lgab=0,即ab=1.A项,∵g(x)的定义域为{x|x0},∴A错误;B项,由图象知指数函数单调递增,∴a1,此时g(x)单调递增,满足条件;C项,由图象知指数函数单调递减,∴0a1,此时g(x)单调递减,不满足条件;D项,由图象知指数函数单调递增,∴a1,此时g(x)单调递增,不满足条件.故选B.(2)由二次函数的图象易得-1<b<0,a>1,则函数g(x)=ax+b单调递增,当x=0时,g(0)=a0+b=b+1∈(0,1),即函数图象在y轴上的截距在(0,1)内,故选C.题型三幂函数、指数函数、对数函数的单调性例3(2016年10月学考)设函数f(x)=2ex,g(x)=e3x,其中e为自然对数的底数,则()A.对于任意实数x恒有f(x)≥g(x)B.存在正实数x0使得f(x0)g(x0)C.对于任意实数x恒有f(x)≤g(x)D.存在正实数x0使得f(x0)g(x0)答案D解析2e=63e,e3=e23e,所以02ee31,作函数f(x)和g(x)的草图如图所示,易知D正确.感悟与点拨(1)函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性.对指数、对数、幂函数来说就是单调性.(2)要熟练掌握单调增函数(或减函数)的特征,充分利用数形结合进行求解.跟踪训练3若loga(a2+1)loga2a0(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.12,1C.0,12D.()1,+∞答案B解析因为a2+1-2a=(a-1)20,所以a2+12a.由loga(a2+1)loga2a知,0a1.又loga2a0=loga1,所以2a1,解得a12.综上所述,12a1.故选B.题型四指数函数、对数函数的综合应用例4已知定义在R上的奇函数f(x)=a·3x+3-x,a为常数.(1)求a的值;(2)用单调性定义证明f(x)在[0,+∞)上是减函数;(3)解不等式f(x-1)+f(2x+3)0.(1)解∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,即a+1=0,解得a=-1,经检验,符合题意.(2)证明由(1)知f(x)=-3x+3-x,设x1x2≥0,则f(x1)-f(x2)=23x-13x+13x--23x-,∵x1x2≥0,∴-x1-x2,∴23x13x,13x-23x-,即23x-13x0,13x--23x-0,∴f(x1)-f(x2)=23x-13x+13x--23x-0,∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.(3)解∵f(x)是奇函数且在[0,+∞)上单调递减,∴f(x)在R上是减函数.∵f(x-1)+f(2x+3)0,∴f(2x+3)-f(x-1)=f(1-x),∴2x+31-x,解得x-23.即不等式的解集为-23,+∞.感悟与点拨解决指数函数、对数函数综合问题时,无论是讨论函数的性质,还是利用函数的性质,都要注意:(1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,+∞);(2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行;(3)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.跟踪训练4已知函数f(x)=loga(3-ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.解(1)∵a>0且a≠1,设t(x)=3-ax,则t(x)=3-ax为减函数,当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a,又当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立,∴3-2a>0,∴a<32.又a>0且a≠1,∴a∈(0,1)∪1,32.(2)假设存在实数a使f(x)在[1,2]上为减函数,则f(x)的最大值为f(1)=loga(3-a)=1,此时a=32,f(x)=323log32x,当x=2时,f(x)没有意义.故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.一、选择题1.(2017年4月学考)函数y=3α的值域为()A.(0,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,3]答案A2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是()答案D解析根据函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax知函数图象为幂函数的一部分和对数函数图象.A选项没有幂函数图象,不符合;B选项f(x)=xa(x≥0)中a>1,而g(x)=logax(x>0)中0<a<1,不符合;C选项f(x)=xa(x≥0)中0<a<1,而g(x)=logax(x>0)中a>1,不符合;D选项两者都是0<a<1,符合,故选D.3.设α∈-1,1,12,3,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为()A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,3答案A解析∵函数y=xα的定义域为R,∴α≠-1和12.当α=1和3时,y=xα为奇函数,故选A.4.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上是单调增函数的是()A.y=1xB.y=|x|-1C.y=lgxD.y=12|x|答案B解析对于A,y=1x为定义域上的奇函数,不满足题意;对于B,y=|x|-1是定义域R上的偶函数,且在(0,+∞)上是单调增函数,满足题意;对于C,y=lgx是非奇非偶的函数,不满足题意;对于D,y=12|x|是定义域上的偶函数,但在(0,+∞)上是单调减函数,不满足题意.故选B.5.函数y=22112xx+-的值域是()A.(-∞,4)B.(0,+∞)C.(0,4]D.[4,+∞)答案C解析令t=x2+2x-1,则t=(x+1)2-2≥-2,∴y=12t≤12-2=4.又y=12t>0,∴0<y≤4.6.已知函数f(x)=3x-1,x≤1,1+log2x,x>1,则方程f(x)=0的实数解x
本文标题:2019版数学浙江省学业水平考试专题复习(精美WORD,全解析):必修1-§3
链接地址:https://www.777doc.com/doc-3983172 .html