第四章 平稳过程

第四章平稳过程在随机过程的大家族中，有一类随机过程，它的统计特性或者说统计变化规律与所选取的时间起点无关。或者说，整个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化。例如，飞机在某一水平高度h上飞行时，由于受到气流的影响，实际飞行高度H(t)总是在理论设计高度h水平上下随机波动，此时飞机的实际飞行高度H(t)是一个随机过程，显然此过程可看作不随机推移面变化的过程，这个随机过程，我们把它看作是平衡的随机过程。此外当我们知道一个随机过程是平稳过程时，它应不随时间的推移而变幻无常。例如当我们要测定一个电阻的热噪声的统计特性，由于它是平稳过程，因而我们在任何时间进行测试都能得到相同的结果。§4.1定义和例子定义严平稳随机过程：对于任意的t，随机过程X(t)的任意n维概密度都有则称X(t)为严平稳随机过程。研究平稳过程的意义在于：该过程在任何时刻计算它的统计结果都是相同的。由定义知平稳随机过程的n维概度密度函数不随时间而变化，这一特性具体反映在随机过程的一、二维概率密度及数字特征方面具有如下性质：12121212(,,;,,,)(,,,,,,,)XnnXnnPxxxtttPxxxttt性质4.1若X(t)为平衡过程，则它的一维概率密度与时间无关证设X(t)的一维概率密度函数为，由于X(t)为平稳过程∴令则由此我们可求平稳过程X(t)的均值、均方值、方差。11(;)XPxt1111(;)(;)XXPxtPxt1t1111(;)(;0)()XXXPxtPxPx222111[()]()XXEXtXPxdx2221112222[()][()]()()[()][()]XXXXXxDXtEXtMxMPxdxEXtEXtM显然，X(t)的均方值、方差都与时间t无关。由此知，当随机过程为平稳过程时，该过程的所有样本函数总是它们均值——水平直线上下波动，样本曲线偏离水平直线的幅度正好是(())XDXx。如图4.1所示，图中细实线表示随机过程的样本函数，粗实线表示随机过程的数学期望，虚线表示随机过程对数学期望的偏差。性质4.2平稳过程X(t)的二维概率密度只与的时间间隔有关，而与时间起点无关。证：设X(t)的二维概率密度函数为由于X(t)为平稳过程，所以对任意有若令，则而正是随机过程二维概率密度函数的时间间隔，令，则：12,tt1212(,;,)XPxxtt12121212(,;,)(,;,)XXPxxttPxxtt1t12121212(,;,)(,;0,)(,;)XXXPxxttPxxPxx12121221(,;,)(,;0,)XXPxxttPxxtt21tt'21tt此式表明，平稳随机过程的二维概率密度函数仅依赖于，而时间的个别值无关。由此，我们可以进一步来讨论平稳过程X(t)的协方差函数应具有什么样的表达形式。12,tt121212121212121212(,)[()()](;,)(;)()XXXXRttEXtXtxxPxxttdxdxxxPxxdxdxR1212122(,)(,)()()()()()XXXXXXXXXXCttRttMtMtRMMRMC又∵2()()XXXCRM∴顺便指出，由一个随机过程的平稳性研究可推广到关于两个随机过程的平稳性研究，可以这样说，若两个随机过程的联合概率密度函数不随时间的平移而变化，与时间的起点无关，则可称这两个随机过程是联合平衡的，或称平稳相依。从上面介绍的严平稳随机过程的定义知，要判断一个随机过程是否是严平稳，需要确定该随机过程的任意n维概率密度函数族，它的变化是否与时间的平稳无关，这本身就是一个十分困难的工作，然而在工程上根据实际需要，我们往往只在所谓的相关理论范围内考虑随机过程的平稳性问题，这里所指的相关理论，就是指随机过程的数字特征，即数学期望、相关函数和今后要介绍的功率普密度等。当在相关理论又可指研究随机过程的一、二阶矩理论。前面已经介绍过，对于一个随机过程X(t)，我们当然希望能建立起它的多维分布函数，因为随机过程的多维分函数能较完整地描述随机过程的统计特性，但是要建立多维分布函数往往很困难，因此我们一般在相关理论范围内也就是用数字特征来描述过程的重要特性，这种用数字特征来描述过程X(t)统计特性变化规律，对很多实际问题往往已能获得很好的效果，可以提取到所需的参数。定义宽平稳过程：给定随机过程X(t)，如果常数且则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程）。显然由宽平稳定义可知，要求就要考虑X(t)的一维概率密度函数和二维概率密度函数。[()]XEXtM21212[()],(,)[()()]()XXEXtRttEXtXtR21tt12[()],(,)XEEtRtt11(,)XPxt1212(,;,)XPxxtt下面我们来分析一下严平稳和宽平稳之间的关系。对于一个随机过程X(t)，如果它是严平稳的，且它的二阶矩存在及均方有界，则由严平稳双因严平稳的一维概率密度与时间无关，即∴常数又因严平稳的二维概率密度只与时间间隔有关，即2[()]EXt111212(,,;,,)(,;,)XnnXPxxttPxxtt111(;)()XXPxtPx[()]XEXtM121212(,;,)(,;)XXPxxttPxx21tt12(,)()XXRttR∴222111[()]()XXEXtxPxdx综上所述，严平稳一定是宽平稳反之不一定成立，除非是高斯过程（正态过程）。类似地，我们还可以给出两个随机过程联合宽平稳定义。定义联合宽平稳：对于平稳过程若1(),()XtYt1221(,)(),XYXYRttRtt则称(),()XtYt联合宽平稳。顺便指出，今后凡提到“平稳过程”，通常是指宽平稳过程。例4.1设Y是随机变量，试分别考虑随机过程的平稳性。解∵Y是随机变量，∵这一过程是一个与时间无关的特殊的过程，它的任何n维概率密度函数与时间无关，所以是一个严平稳。∵是严平稳,∴只要则X1(t)是宽平稳。对于12(),()XtYXttY1()XtY1(,,)YnPyy1()XtY221[()][]EXtEY2(),XttY2[()][][]EEtEtYtEY都与时间有关，所以为非平稳。例4.2设是一周期为T的函数，是（0,T）上具有均匀分布的随机变量，称为随机相位周期过程，试讨论它的平稳性。解由题设知的概率密度函数为221221221212(,)[()()][][]XRttEXtXtEtYtYttEY12,tt2()XttY()St()()XtSt10()0TftT其它要讨论X(t)的平稳性，由宽平稳定义知，需要求。当取定为一随机变量的函数，由求随机变量函数的数学期望公式知∵令，则12[()],(,)XEXtRtt,()()tXtXt时()YgX[]()()EYgxfxdx001[()]()()()TTEXttfdStdTt011[()]()()tTTtEXtSdSdTT常数又∵令120(,)(,)[()()][()()]()()()XXTRttRttEXtXtEStStStStfd,t01[()]()()1()()()ttTXEXtSSdTSSdRT§4.2遍历性定理1.各态历经问题的提出对于一个随机过程X(t)，我们当然希望知道它们的分布函数，但很困难，于是我们退而求其次，考虑求它的数字特征即数学期望、相关函数等。但要求X(t)的数字特征，首先需要知道它的一、二维概率密度函数，即这实际上又很难办，进而为我们求数字特征又带来困难。怎么解决这个问题呢？实际上，在工程中，要求X(t)的数字特征，我们自先是通过试验来产生一族时间样本函数111212(;),(,;,)XXPxtPxxtt1(),,(),nxtxtX(t)或者是做试验产生一个样本函数x(t)，然后再对样本函数x(t)取不同时刻，如，得所对应的结果，即此时随机过程可表示为。对任意指定时刻的数学期望可近似表示为协方差函数可近似表示为来计算，显然这种用近似计算的方法来估计随机过程的数学期望及协方差函数要求n很大，即样本函数xk(t)很多。但这在实际工程又常常又很难做到，于是人们自然想到能不能够通过测试一个样本函数如01,,nttt01(),(),,()nnxtxtxt0(){(),,(),}nXtxtxt1,()tXt1111[()]()nkhEXtxtn121211(,)()()nXkkkRttxtxtn(),1,2,ixti用一个样本函数xi(t)的均值和相关函数来近似随机过程的均值和相关函数，如果能，这为我们求随机过程的数学特征就带来了很大方便。这里提出一个问题：怎样表示一个样本函数如x1(t)的均值呢？我们以下式来表示显然x1(t)不同其积分结果一般不同。于是对一个随机过程，，其样本函数的积数结果可能不同。此时显然用一个样本函数的数字特征如，近似是不正确的。但是如果当时间区间T充分大时，如果X(t)的绝大多数样本函数的均值111()2TxTMxtdrT1(){(),,(),}nXtxtxt1xM[()]EXt111()lim()2TTTxtxtdtT都有则我们可用其中一个样本函数的均值作为[X(t)]的近似，即定义随机过程的时间均值和时间相关函数：称为随机过程的时间相关函数。221()lim()2TTTxtxtdtT1()lim()2TnnTTxtxtdtT12()()()nxtxtxt()nxt()[()],1,2nxtEXtn1()()lim()()2TTTXtXtXtXtdtT注意：定义中一般都是随机变量（常数可看作特殊的随机变量）。由上述分析可知，是不是任何一个随机过程，它的数学期望、相关函数都可用其中的一个样本函数的均值和协方差函数来近似呢，显然不一定，一个自然的问题是X(t)在什么条件下可用一个样本函数的均值和协方差函数作为整个过程X(t)的均值，协方差函数的近似呢？(),()()XtXtXt1(){(),,()}nXtxtxt2.平均随机过程的各态历经性要回答上述的问题，我们设当X(t)为平稳过程且满足一定条件时，可用一个样本函数的均值和协方差函数作为过程X(t)的数字特征近似，为此我们给出如下定义：定义：设X(t)是一个平稳过程（1）若以概率1成立，则称随机过程X(t)均值具有各态历经性这里依概率1成立是指对X(t)的所有样本函数即()[()]XXtEXtM1()[()],,()[()]XnxxtEXtMxtEXtM由此知，此时，我们可用一个样本函数的均值如的值作为的近似值。反之，若已知X(t)的均值各态历程，则可用一个样本函数的均值作为过程X(t)的均值。（2）若以概率1成立，则称X(t)的协方差函数具有各态历经性。11()lim()2TTtxtxtdtT[()]EXt1[()]lim(),1,2,2TnTTEXtxtdtnT()()[()()]()XXtXtEXtXtR这里若X(t)的协方差函数各态历经，就是指我们可用过程X(t)的一个样本函数、xn(t)的时间相关函数即作为过程的相关函数。（3）若X(t)的均值和协方差函数都具有各态历经性，则称X(t)是宽各态历经过程，简称X(t)为各态历经过程。综上所述，如果X(t)是各态历经过程，则必为平稳过程，此时可用过程的一个样本函数的数字特征作为过程的数字特征近似。()()[()()]()nnXxtxtEXtXt