第四章 平稳时间序列模型预测

应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材1第一节预测准则称为的预测值或的h步预测值怎样选取预测函数呢？直观的想法是所选取的预测函数应能够使预测误差尽可能的小。这就需要确定一种准则，使得依据这种准则能衡量采用某种预测函数所得的预测误差比采用别的预测函数所得的预测误差小。ˆthythy{}ty1ˆ(,,,)thtttNyyyyˆ()tththehyy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材2一、从几何角度提出预测问题对在t+h的取值进行预测，我们所能利用的就是yt在t和以前时刻的取值所提供的信息,也就是说是的函数，我们知道最简单的函数是的线性函数，设为现在的问题是如何求出系数使得与最接近。1,,,tttNyyyˆthy1,,,tttNyyy011ˆthttygygy01,,ggˆthythy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材3图4.1在平面M上的投影从几何图形来看，离yt+h最近的是向量yt+h在平面M上的投影。应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材4二、求解正交投影基于直到时刻t的信息集对变量取值的预测记为，为获得此预测必需指明相应的损失函数(lossfunction)。一个十分方便的结果是选取平方损失函数，即选取，使其均方误差达到最小。容易知道，关于的条件期望是关于的最小均方误差预测。这种预测具有许多优良性质，但其计算比较复杂。在许多的实际应用问题，我们更感兴趣于在的线性函数类中寻求的预测。tthyˆthy1ˆty1ˆtyt1|1|ttttyEy1tyt应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材5例如时，可选取：假定我们已求得之值，使得预测误差与无关即有成立则称(4.1)式为yt+1关于的线性投影。并记为'11,,,ttttntyyyY1ˆ(4.1)ty'tαYα'1ttyY'11,,,ttttntyyyY'10tEyttαYYt11ˆˆ|tttyEy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材6三、最小均方误差预测设随机序列适合一个ARMA模型，即在已知的条件下，很自然会考虑到的线性函数这是一种比较容易处理而在使用中最有广泛意义的情形。作为一个好的预测值，应该满足预测的误差越小越好，于是问题转化为求使与之间的误差最小。使预报的均方误差最小的称为线性最小均方预测。1111ttptpttqtqyyyat1,,ttyy011ˆthttyCyCy01,,,CCˆthythy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材7综上可得，yt+h的线性最小均方误差预测为称(4.5)式为线性最小均方误差预测的传递函数形式。我们知道这是可以实现的，因为一个系统的参数完全可以由其格林函数确定。预测的残差为预测误差方差为1122ˆ(4.5)thhththtyGGG10ˆ(4.6)hththjthjjyyG1220(4.7)jjG应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材8第二节ARMA模型预测前面我们对最小均方预测的基本原理进行了讨论，所有的结论都是在平稳的条件下得到的。下面我们求ARMA模型的最小均方预测。一、AR(p)模型的预测考虑一个AR(2)模型其向前一步的预测为一步预测的误差方差为1122ttttyyy1121ˆtttyyy2应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材9向前二步的预测为注意到故二步的预测误差的方差为2112ˆˆtttyyy211212ˆ()ttttyyyy211122()ttttttyyyy221(1)应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材10更一般的情形，遵从AR(p)的序列满足随机差分方程由差分方程很容易得到AR(p)的最小均方误差预测公式为再根据(4.9)式，AR(p)模型的递推预报公式为：1122tttptptyyyy1122ˆˆˆˆthththpthpyyyy1121ˆtttptpyyyy1122ˆˆˆtptptpptyyyy21122ˆˆtttptpyyyy………………..应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材11…………….由上式可以看出，AR(p)模型的最小均方预测公式比较简单，只要知道这p个历史值便可以得到任意步长的平稳线性最小均方预测。正是因为AR模型的建模与预测的简单性，所以它成为预测问题中应用得最为广泛的时间序列模型。1122ˆˆˆˆ()thththpthpyyyyhp11,,,mmmpyyy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材12二、MA(q)模型的最小均方预测对于MA(q)模型我们可以得到预测值的递推公式为分析预测公式(4.11)，可以看出MA模型的最佳预测具有以下两个特点：11tttqtqyˆ0thyhq11ˆˆˆ1ththqthqyhq(4.11)应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材13(1)MA(q)模型只能对未来进行q步预测，当hq时，预测值为零(时间序列均值为零)；因此当模型阶数较低时，MA模型只能进行短期预测；(2)MA模型预测中使用的，其数据需要的全部历史数据迭代计算，并需要设的取值，由此可知这种处理比较繁琐，有一定主观性，故不便应用。1,,,ttthq{}ty011,,,q应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材14设有MA(2)模型则有一步预测因而又由于，因此预测误差的方差等于。对于前两步预测易知预测误差为1122tttty11121tttty1121ˆttty111ˆtttyy222112tttty22ˆtty2221122ˆ()()ttttttyy预测误差的方差为221(1)应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材15类似可得三步预测的误差为预测误差的方差为与前三步预测相似，模型中已没有记忆对前四步预测有帮助。这时的预测值已经是这个系统的均值。即有其预测误差的方差为更一般的情况，对于一个MA(q)模型h步预测公式为3331221ˆ()(0)tttttyy22212(1)4441322ˆ()0tttttyy22212(1)11ˆˆˆ1ththqthqyhqˆ0thyhq应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材16h步预测残差的方差为三、ARMA(p,q)预测对于一个ARMA模型，仿照AR和MA模型同样的步骤可以推得关于ARMA(p,q)模型的预测公式，……………..1220()hii1111ttptpttqtqyyy11111ˆttptptqtqyyy2112222ˆˆtttptptqtqyyyy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材17………………..分析上面的公式可知，ARMA(p,q)模型的最佳计算具有以下特点：(1)当时，预测计算公式中包含了…,这q个值，与MA模型的预测计算一样，需要由迭代计算出，因此ARMA模型的预测计算也非常繁琐；(2)当hq时，预测计算中不包含MA部分，可由进行递推计算；1122ˆˆˆtqtqtqptqpqtyyyx1122ˆˆˆˆ,thththpthpyyyyhqhq1,,tt{}ty{}t1tq12ˆˆˆ,,,thththpyyy应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材18(3)当hq时，如果把看成h的函数(记为)，则预测公式是一个关于的齐次差分方程；因此，如同AR模型的最佳预测一样，也可以由齐次差分方程所确定。根据上面的分析可知，ARMA模型的最佳预测计算远较AR模型复杂，同时其建模过程也是繁琐的。ˆthyˆ()tyhˆ()tyhˆ()tyh应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材19第三节案例分析【例4.1】基于批发价格指数的美国通货膨胀研究批发价格指数(WholesalePriceIndex，简记为WPI)是通货膨胀测定指标的一种，它是根据大宗物资批发价格的加权平均价格编制而得的物价指数,反应不同时期生产资料和消费品批发价格的变动趋势与幅度的相对数。包括在内的产品有原料、中间产品、最终产品与进出口品，但不包括各类劳务。批发价格是在商品进入零售，形成零售价格之前，有中间商或批发企业所订，其水平决定于出厂价格或收购价格，对零售价格有决定性影响。应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材20所以有经济学家认为批发价格指数比消费物价指数具有更广泛的物价变动代表性，为此我们搜集了1960年第1季度至1990第4季度美国的WPI指数进行研究，数据来源于美国劳工统计局网站。从1960年第1季度至1990第4季度的WPI共有124个数据，使用EViews命令PlotWPI可得其水平序列图如下应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材21204060801001201960196519701975198019851990--WPI图4.2美国批发价格指数应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材22在EViews中双击WPI这个序列，点击View\DescriptiveStatistics\HistogramandStats，则可以得到它基本描述统计特征图4.3。0481216202428325075100Series:WPISample1960Q11990Q4Observations124Mean62.77419Median56.60000Maximum116.2000Minimum30.50000Std.Dev.30.24356Skewness0.307981Kurtosis1.416508Jarque-Bera14.91542Probability0.000577应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材23从图4.3可以得知，WPI的平均值是62.7742，最大值是116.2000，最小值是30.5000，标准差是30.2436，并且这是一个服从双峰分布的变量。为了判断时间序列模型的类型，我们要计算出自相关函数与偏相关函数值。在EViews中双击WPI这个序列，点击View\Correlogram…，在弹出的对话框中选择Level，然后点击确定，可得WPI的自相关函数与偏相关函数图4.4应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材24图4.4WPI的自相关函数与偏相关函数图虽然偏相关函数是截尾的，但自相关函数衰减很慢(几乎不减少，所以不是拖尾的)，因此WPI是一个非平稳序列。应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材25如果非要认为自相关函数是拖尾的，则照第三章的标准，模型应该是AR(1)的，使用命令LSWPIcAR(1)可得输出输出结果表4.1应用时间序列分析●”十一五“国家级规划教材26从表4.1的最后一行的输出结果“EstimatedARprocessisnonstationary”，可看出这个AR(1)过程是非平稳的。所以下面我们依照博克斯－詹金斯方法的思路：原始序列不平稳，但其差分序列可能是平稳