2.2.3-向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)

知识回顾BAbao.O.Ca+bbaABba+ba1.向量加法三角形法则:2.向量加法平行四边形法则:首尾相连首尾接起点相同连对角o.BAa-bab3.向量减法法则:共起点，连终点，方向指向被减数-a-a-aPQMNaaaABCOaaaBCABOAOC)a()a()a(MNQMPQPN的方向相同a与a3的方向相反a与a3a已知非零向量a，作a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)a3记作a3a3a3记作a3a3当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；|λa|=|λ|·|a|一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa。一、向量的数乘定义它的长度和方向规定如下：(1)长度(2)方向特别地，当λ=0或a=0时,λa=0二、向量数乘的几何意义a-3aa213aa21a几何意义：将的长度扩大（或缩小）倍，改变（或不改变）的方向，就得到了λa|λ|aa结论:2a+2b=2(a+b)结论:3(2a)=6a(1)根据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a≠0)，并比较。abbaba22a2b2(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并比较。a)2(3a)2(3aa6=观察总结①λ(μa)=运算律:设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：②(λ+μ)a=③λ(a+b)=(λμ)aλa+μaλa+λb（-λ）a=-(λa)=λ(-a)特别地，λ(a-b)=λa-λb结合律第一分配律第二分配律三、向量数乘运算满足的运算律：（2）对于任意的向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2恒有λ(μ1a±μ2b)=解:(1)原式=(2)原式=(3)原式=计算：(口答)(1)(-3)×4a(2)3(a+b)–2(a-b)-a(3)(2a+3b-c)–(3a-2b+c)(3-2-1)a+(3+2)b=5b(2-3)a+(3+2)b+(-1-1)c=-a+5b-2c-12aλμ1a±λμ2b牛刀小试结论：（1）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。(1)3,6(2)8,1421(3),3332(4),43aebeaebeaebeaebe2ba74ba例1：把下列各小题中的向量b表示为实数与向量a的积.a21ba98b1、如果b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0)、b，以及实数λ：2、如果a与b共线，那么是否有λ，使b=λa？自主探究对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使得b=λa,那么，由数乘向量的定义知：向量a与b共线。当a与b同方向时，有b=μa;当a与b反方向时，有b=-μa，所以始终有一个实数λ，使b=λa。若向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是a的长度的μ(μ0)倍，即有|b|=μ|a|,且四、向量共线定理向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数λ，使得b=λa.即：(1)0,?aa为什么要是非零向量，若上述定理成立吗吗？可以是0)2(b0//aabab1.a向量为零向量时，若b向量是零向量，λ是取任何常数都成立；若b向量不是零向量，λ取任何数都不对。2.b向量为零向量时，若a向量是零向量，λ是取任何常数都成立(注意：这样λ就不唯一了！！)；若a向量不是零向量，λ就只能取0了（此时λ唯一哦）。解：作图如右OABC依图猜想:A、B、C三点共线∴A、B、C三点共线.abbbba例2、已知任意两非零向量a、b，试作OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b。你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？∵AB=OB-OA∴AC=2AB又AC=OC-OA=a+3b-(a+b)=2b=a+2b-(a+b)=b又AB与AC有公共点A，AEDCB解：=3AC=3(AB+BC)∵AB+BC=AC=3AB+3BC又AE=AD+DE∴AC与AE共线如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试证明AC与AE共线。摇身一变例3：又AC与AE有公共点A，∴A、C、E三点共线.定理应用变式1：如图，已知AD=3AB、AE=3AC，试证明BC和DE共线。变式：如图，已知AD=3AB、DE=3BC，试判断A、C、E三点位置关系?结论：向量共线定理可用来解决:向量共线和三点共线问题。12121212(1)2,2(2),22(3),2aebeaeebeeaeebee判断下列各小题中的向量a与b是否共线.二、知识应用：1.证明向量共线；2.证明三点共线:一、概念与定理①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线aaC.的方向相反与aaA.的方向相同与aa2B.2.设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().aaD.a1.下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个;bmambambam）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;,0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC3.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ABC)(21)1(ACABADADCABCAB223)2(ＡＢＣＤ解：因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21ACAB（２）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立ＡＢＣＤE过点B作BE,使ACBE连接CE则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:,,31bACaABBCBDBCABCD，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba41414.5.ABCD6.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且有BN=BD，求证：M、N、C三点共线。31ADBCMN提示：设AB=aBC=b则MN=…=a+b6131MC=…=a+b21对于任意一个三角形，三角形的三条高的交点叫做垂心，三角形的三条中线的交点所为重心，三角形的三条角平分线的交点叫内心，三角形的三条中垂线的交点叫外心思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？BDuuurBCuuurADuuurDMuuuurABCDM思考2：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？ABBCl=uuuruuur思考3：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？OPuuurOAuuurOBuuurABPO、、共线ABBCABCl=?uuuruuur1()2OPOAOB=+uuuruuuruuur7:若其中,是已知向量,求，分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记①，②bnm3933②得③,113111ban①-③得abybax5152,5152anm23bnm3bmn例6:8如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.OAB31，，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA分析:解题的关键是建立的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。baODOC，与,解：因为A是BC的中点，所以.22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232ab