[高考]《走向高考》2013春季发行高三数学人教A版总复习3-4章课件4-5 简单的三角恒等变换

走向高考·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·高考一轮总复习第四章三角函数与三角形走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第四章三角函数与三角形第四章三角函数与三角形走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学第四章第五节简单的三角恒等变换第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学基础梳理导学第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学重点难点引领方向重点：倍角、半角公式及积化和差、和差化积公式，依据这些公式进行三角函数的化简、求值、证明等．难点：公式的灵活运用第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学夯实基础稳固根基1．半角公式sinα2＝±1－cosα2，cosα2＝±1＋cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα，tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学2．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半角公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．3．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝asinx＋bcsinx＋d或y＝acosx＋bccosx＋d可转化为只有分母含sinx(或cosx)的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋cbsinx(a，b，c0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．高考主要考查可化一角一函形式的和复合二次型．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学疑难误区点拨警示计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论，注意发掘隐含的限制角的范围的条件，避免因对隐含条件的疏忽致误．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学思想方法技巧第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学一、函数与方程的思想[例1]已知sinx＋siny＝13，求sinx－cos2y的最大、最小值．分析：消去sinx得u＝13－siny－cos2y可转化为二次函数最值，关键是消元后sinx的范围同时要转化为siny的取值范围．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由sinx＝13－siny及－1≤sinx≤1得－23≤siny≤1.而sinx－cos2y＝sin2y－siny－23＝(siny－12)2－1112所以当siny＝12时，最小值为－1112，当siny＝－23时，最大值为49.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：求二元函数最大值时，一般需将函数转化为一元函数，故首先要消去一个字母，而sinx＝13－siny能提供两种功能，其一是消元，其二是要从此消元式中解出siny的范围，即二次函数的“定义域”，这是本题的难点及易错点，切不可盲目认定－1≤siny≤1.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学二、角的构造技巧与公式的灵活运用[例2]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：解法1：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋32cos10°－12sin10°2＋sin10°·32cos10°－12sin10°＝34(sin210°＋cos210°)＝34.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解法2：令sin10°＝a＋b，cos40°＝a－b，则a＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学原式＝(a＋b)2＋(a－b)2＋(a＋b)(a－b)＝3a2＋b2＝34cos220°＋34sin220°＝34.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解法3：设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x－y＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x＝32，x＝34.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：解法1：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法2：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解法3：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．你能解决下列问题吗？①求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；②求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)的值；第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosasin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sinxsiny为定值34；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sinxsiny为定值34.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学考点典例讲练第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例1]3－sin70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.32分析：观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简．倍角公式第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：原式＝3－cos20°2－cos210°＝3－2cos210°－12－cos210°＝2.答案：C第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(文)函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为()A．－3,1B．－2,2C．－3，32D．－2，32第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－2(sinx＋12)2＋32，则sinx＝－12时，f(x)max＝32；sinx＝1时，f(x)min＝－3.答案：C第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)(2012·河南五市联考)计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．1第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α＝tanπ4＋α·cos2α2sin2π4＋α＝cos2α2cosπ4＋αsinπ4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1.选D.答案：D第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例2](文)已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－43，则tanα＝________.分析：用诱导公式可将条件化为tan2α的函数值，用二倍角公式解方程可求得tanα.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：由tan(π＋2α)＝－43得tan2α＝－43，由tan2α＝2tanα1－tan2α＝－43，解得tanα＝－12或tanα＝2，又α是第二象限的角，所以tanα＝－12.答案：－12第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(理)若tan(α＋3π4)＝2014，则1cos2α＋tan2α＝________.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：∵tan(α＋3π4)＝2014，∴tanα－11＋tanα＝2014.∵1cos2α＋tan2α＝sin2α＋cos2αcos2α－sin2α＋2tanα1－tan2α＝tan2α＋11－tan2α＋2tanα1－tan2α＝tanα＋121－tan2α.由于tan(α＋3π4)＝2014，可知tanα＋1≠0.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学∴1cos2α＋tan2α＝tanα＋121－tan2α＝tanα＋121－tanα1＋tanα＝1＋tanα1－tanα＝－12014.答案：－12014第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2011·山东日照模拟)已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：(1)∵tanα2＝12，∴tanα＝2tanα21－tan2α2＝2×121－122＝43，由sinαcosα＝43，sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45(sinα＝－45舍去)．第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学(2)由(1)知cosα＝1－sin2α＝1－452＝35，又0απ2βπ，∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝210，∴sin(β－α)＝1－cos2β－α＝1－2102＝7210，第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学于是sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22.又β∈(π2，π)，∴β＝3π4.第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学[例3]设5π2θ3π，cosθ＝a，则sinθ2等于()A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2半角公式第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学解析：∵5π2θ3π，∴5π4θ23π2，∴sinθ20，∵a＝cosθ＝1－2sin2θ2，∴sinθ2＝－1－a2.答案：D第四章第五节走向高考·高考一轮总复习·人教A版·数学点评：不要求记忆半角公式，只要熟记二倍角公式，