2019届高考数学二轮复习三角函数的图像与性质课件(32张)(全国通用)

考点1三角函数的定义、诱导公式及基本关系1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.3．诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[例1](1)[2018·全国卷Ⅰ]已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝23，则|a－b|＝()A.15B.55C.255D．1[解析]由cos2α＝23，得cos2α－sin2α＝23，∴cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝23，即1－tan2α1＋tan2α＝23，∴tanα＝±55，即b－a2－1＝±55，∴|a－b|＝55.故选B.[答案]B(2)[2018·惠州调研]已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则cosα－π2＝________.[解析]解法一cosα－π2＝sinα，由α∈π，3π2知α为第三象限角，联立，得tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得5sin2α＝1，故sinα＝－55.解法二cosα－π2＝sinα，由α∈π，3π2知α为第三象限角，由tanα＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－55.[答案]－55技法领悟应用三角函数的概念和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.1．[2018·南昌调研]已知sinθ＝13，θ∈π2，π，则tanθ＝()A．－2B．－2C．－24D．－28解析：通解由sinθ＝13且θ∈π2，π知cosθ＝－223，∴tanθ＝－13223＝－24，故选C.优解如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝1，AB＝22，易知sinA＝13，则tanA＝122＝24，又sinθ＝13，θ∈π2，π，所以θ＝π－A，故tanθ＝－24.答案：C2.[2018·福州质量检测]若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝34x上，则cos2α＝()A.2425B.725C.17D．－725解析：因为tanα＝34，所以cosα＝±45，所以cos2α＝2cos2α－1＝725，故选B.答案：B考点2三角函数的图象与解析式函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换[例2](1)[2018·南昌调研]函数y＝sinx2＋π6的图象可以由函数y＝cosx2的图象()A．向右平移π3个单位长度得到B．向右平移2π3个单位长度得到C．向左平移π3个单位长度得到D．向左平移2π3个单位长度得到[解析]解法一由y＝cosx2＝sinx2＋π2，y＝sin12x－2π3＋π2＝sinx2＋π6，知函数y＝sinx2＋π6的图象可以由y＝cosx2的图象向右平移2π3个单位长度得到．解法二在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.[答案]B(2)[2018·郑州入学测试]将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到函数g(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式是()A．f(x)＝sin2x－π6(x∈R)B．f(x)＝sin2x＋π6(x∈R)C．f(x)＝sin2x－π3(x∈R)D．f(x)＝sin2x＋π3(x∈R)[解析]依题意，设g(x)＝sin(ωx＋θ)，其中ω0，|θ|π2，则有T＝2πω＝45π12－π6＝π，ω＝2，gπ6＝sinπ3＋θ＝1，则θ＝π6，因此g(x)＝sin2x＋π6，f(x)＝gx－π6＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6，故选A.[答案]A技法领悟1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的解析式的方法已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2．[警示]在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.3．[2018·安徽质量检测]将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，φ∈(0,2π))的图象按以下顺序进行变换：①向左平移π6个单位长度，②横坐标变为原来的12，③向上平移1个单位长度，④纵坐标变为原来的3倍，可得到g(x)＝sinx的图象，则f(x)＝()A.13sin12x＋2312π－1B.13sin2x＋2312π＋1C．3sin12x＋2324π＋1D．3sin12x＋2312π－1解析：解法一由题意知，f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象向左平移π6个单位长度得到y＝Asinωx＋π6＋φ＋B＝Asinωx＋ωπ6＋φ＋B的图象，横坐标变为原来的12，得到y＝Asin2ωx＋ωπ6＋φ＋B的图象，向上平移1个单位长度，得到y＝Asin2ωx＋ωπ6＋φ＋B＋1的图象，纵坐标变为原来的3倍，得到y＝3Asin2ωx＋ωπ6＋φ＋B＋1＝sinx的图象，所以3A＝1,2ω＝1，ωπ6＋φ＝2kπ(k∈Z)，3(B＋1)＝0，又φ∈(0,2π)，所以A＝13，ω＝12，φ＝2312π，B＝－1，故f(x)＝13sin12x＋2312π－1.解法二将g(x)＝sinx的图象按以下顺序进行变换：①纵坐标变为原来的13，②向下平移1个单位长度，③横坐标变为原来的2倍，④向右平移π6个单位长度，可得y＝Asin(ωx＋φ)＋B的图象，即y＝13sin12x－π6－1，故A＝13，ω＝12，φ＝－π12＋2kπ(k∈Z)，B＝－1，又φ∈(0,2π)，所以φ＝2312π，所以f(x)＝13sin12x＋2312π－1.答案：A4．[2018·成都检测]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示．现将函数f(x)图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()A．g(x)＝2sin2x＋π4B．g(x)＝2sin2x＋3π4C．g(x)＝2cos2xD．g(x)＝2sin2x－π4解析：由图象，知A＝2，T＝4×5π8－3π8＝π，所以ω＝2πT＝2，将点5π8，－2代入f(x)＝2sin(2x＋φ)得sin5π4＋φ＝－1，即5π4＋φ＝2kπ＋3π2(k∈Z)，结合|φ|π2，得φ＝π4，所以f(x)＝2sin2x＋π4，所以g(x)＝fx－π4＝2sin2x－π4，故选D.答案：D考点3三角函数的性质1．三角函数的单调区间y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)；y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．2．三角函数的奇偶性与对称性y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．[例3](1)[2018·全国卷Ⅱ]若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π[解析]f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx·22－cosx·22＝－2sinx－π4，当x∈－π4，34π，即x－π4∈－π2，π2时，y＝sinx－π4单调递增，y＝－2sinx－π4单调递减．∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，∴[－a，a]⊆－π4，34π，∴0a≤π4，∴a的最大值为π4.故选A.[答案]A(2)[2018·江苏卷]已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图象关于直线x＝π3对称，则φ的值是________．[解析]由题意得fπ3＝sin23π＋φ＝±1，∴23π＋φ＝kπ＋π2，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.∵φ∈－π2，π2，∴取k＝0得φ＝－π6.[答案]－π6技法领悟1.三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ为常数，A≠0，ω0)的单调区间的一般思路是令ωx＋φ＝z，则y＝Asinz(或y＝Acosz)，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法：函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|.应特别注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期为T＝π|ω|.(3)三角函数值域的求法：在求最值(或值域)时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f(x)的最值．2．[警示]求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意ω，A的符号．ω0时，应先利用诱导公式将x的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2kπ时，不要忘掉k∈Z，所求区间一般为闭区间.5．[2018·天津卷]将函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数()A．在区间3π4，5π4上单调递增B．在区间3π4，π上单调递减C．在区间5π4，3π2上单调递增D．在区间3π2，2π上单调递减解析：函数y＝sin2x＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y＝sin2x－π10＋π5＝sin2x，则函数y＝sin2x的一个单调增区间为3π4，5π4，一个单调减区间为5π4，7π4.由此可判断选项A正确．故选A.答案：A6．[2018·福建质量检测]将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f(x)的图象，则()A．y＝f(x)的图象关于直线x＝π8对称B．f(x)的最小正周期为π2C．y＝f(x)的图象关于点π2，0中心对称D．f(x)在－π3，π6上单调递增解析：将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sinx的