平面的法向量

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示已知平面α，如果向量的基线与平面α垂直，则向量叫做平面α的法向量或说向量与平面α正交。nnn由平面法向量的定义可知，平面α的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量。由于同时垂直于同一平面的两条直线平行，可以推知，一个平面的所有法向量互相平行。由平面法向量的性质，很容易通过向量运算证明直线与平面垂直的判定定理。直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和平面的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。已知:a、b是平面α内的两条相交直线，且直线n⊥a，n⊥b，求证：n⊥α.lnabcnmabnabm证明：设m是平面α内任意一条直线，在n，a，b，m上分别取非零向量,,,nabm，因为a与b相交，由共面向量定理可知，存在惟一的数对(x，y)，使mxayb，nmxnaynb，由已知0,0nanb，所以0nm，即n⊥m.因为直线n垂直于平面α内的任一直线，所以直线n垂直于平面α.现在我们来研究问题：设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，问适合条件0AMn①的点M的集合构成什么样的图形？容易看出，如果任取两点M1，M2(M1，M2和A三点不共线)，且120,0AMnAMn，则n⊥平面AM1M2.M2M1MAn由直线与平面垂直的判定定理，就可以推知，在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式，又知满足条件①的所有点M都在平面AM1M2内。这就说明，我们可以用①式表述通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面。①式通常称为一个平面的向量表示式。设12,nn分别是平面α，β的法向量，则容易得到α//β或α与β重合12//nn，12120nnnn。于是我们就可以利用向量的平行或垂直的条件，来讨论平面的平行或垂直。例1.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直平行相交例2、设平面α的法向量为(1,2,－2),平面β的法向量为(－2,－4,k),若α//β，则k=；若α⊥β,则k=。4－51、已知l//α，且l的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为(1,,2),则m=.12－82、已知l⊥α，且l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为(1,,2),则m=.124练习例3．已知点A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)，其中abc≠0，如图，求平面ABC的一个法向量。nCBOzxy=(bc，ac，ab)n例4．已知：AB，AC分别是平面α的垂线和斜线，BC是AC在α内的射影，lα且l⊥BC，求证：l⊥AC.vlCBA三垂线定理证明：取向量//vl，则//v，且vBC，因为AB⊥α，lα，所以vAB，又因为ACABBC，所以()0ACvABBCvABvBCv，因此vAC，所以l⊥AC.vlCBA三垂线定理:如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线垂直。类似地可以证明三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影垂直。1．已知平面α内有一个点M(1,－1,2)，平面α的一个法向量是＝(6,－3,6)，则下列点P中在平面α内的是()A．P(2,3,3)B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0)D．P(3,－3,4)nA2．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为()A．75°B．60°C．45°D．30°C3．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是__________．30°4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A.63B.255C.155D.105D5．在直三棱柱111CBAABC中，090ACB,030BAC,MAABC,6,11是1CC的中点。求证：AMBA16．如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点NM,分别在对角线AEBD,上，且AEANBDBM31,31,求证：//MN平面CDEABCDEFxyzMN证明：建立如图所示空间坐标系，设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c),0,2(caBMABNANM又平面CDE的一个法向量)0,3,0(bAD由0ADNM,得到ADNM因为MN不在平面CDE内,所以NM//平面CDE.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD中点，求证：D1F⊥平面ADE.证明：设正方体棱长为1，建立如图所示坐标系D－xyz,)0,0,1(DA,)21,,1,1(DE，因为)1,21,0(1FD所以0,011DEFDDAFD，DEFDDAFD11,DDADE，所以FD1平面ADE8．如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F,使BF∥平面AEC?证明你的结论。2