算法案例--进位制

算法案例——进位制一、进位制1、什么是进位制？进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统。进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。新课讲解：比如：满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就是六十进制“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几.基数：2、最常见的进位制是什么？除此之外还有哪些常见的进位制？请举例说明．•最常见的进位制应该是我们数学中的十进制,比如一般的数值计算，但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的.•古人有半斤八两之说，就是十六进制与十进制的转换.•比如时间和角度的单位用六十进位制,计算“一打”数值时是12进制的。•电子计算机用的是二进制。式中1处在百位，第一个3所在十位，第二个3所在个位，5和9分别处在十分位和百分位。十进制数是逢十进一的。我们最常用最熟悉的就是十进制数，它的数值部分是十个不同的数字符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9来表示的。十进制：例如133.59，它可用一个多项式来表示：133.59=1*102+3*101+3*100+5*10-1+9*10-2实际上，十进制数只是计数法中的一种，但它不是唯一记数法。除了十进制数，生产生活中还会遇到非十进制的记数制。如时间：60秒为1分，60分为1小时，它是六十进制的。两根筷子一双，两只手套为一副，它们是二进制的。其它进制：二进制、七进制、八进制、十二进制、六十进制……二进制只有0和1两个数字，七进制用0~6七个数字十六进制有0~9十个数字及ABCDEF六个字母.为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，十进制一般不标注基数.例如十进制的133.59，写成133.59(10)七进制的13，写成13(7)；二进制的10，写成10(2)一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为一串数字连写在一起的形式：110()110(0,0,,,).nnknnaaaaakaaak（16）（7）（12）（2）练习:下列写法正确的是：（）A、751B、751C、095D、901110()110(0,0,,,).nnknnaaaaakaaakA3、十进制的构成十进制由两个部分构成例如：3721其它进位制的数又是如何的呢？第一、它有0～9十个数字；第二、它有“数位”，即从右往左为个位、十位、百位、千位等等。(用10个数字来记数，称基数为10)01231011021071037213表示有：1个1，2个十，7个百即7个10的平方，3个千即3个10的立方十进制：“满十进一”探究：P43110()nnkaaaakk若表示一个进制数，请你把它写成各位上数字与的幂的乘积之和的形式。110()110110(10)nnknnnnaaaaakakakak其它进制数化成十进制数公式二、二进制二进制是用0、1两个数字来描述的．如11001二进制的表示方法区分的写法：11001（2）或者(11001)201234(2)212020212111001八进制呢？如7342(8)k进制呢？anan-1an-2…a1(k)？三、二进制与十进制的转换1、二进制数转化为十进制数例1：将二进制数110011(2)化成十进制数。解：根据进位制的定义可知012345)2(21212020212111001112116132151所以，110011（2）=51．110()110110(10)nnknnnnaaaaakakakak其它进制数化成十进制数公式1、将下面的二进制数化为十进制数？（1）11（2）110练习2、把其他进位制的数化为十进制数的公式是什么？例2、设计一个算法，将k进制数a(共有n位)转换为十进制数b。(1)算法步骤:第一步，输入a,k和n的值；第二步，将b的值初始化为0,i的值初始化为1；第三步，b=b+ai*ki-1,i=i+1第四步，判断in是否成立.若是,则执行第五步,否则,返回第三步；第五步，输出b的值.(2)程序框图:开始输入a,k,nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给tb=b+t*ki-1i=i+1in?否是输出b结束(3)程序：INPUT“a,k,n=”;a,k,nb=0i=1t=aMOD10DOb=b+t*k^(i-1)a=a\10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILinPRINTbEND方法：除2取余法，即用2连续去除89或所得的商，然后取余数。例、把89化为二进制数解：根据“逢二进一”的原则，有89＝2×44＋1＝2×(2×22＋0)+1＝2×(2×(2×11＋0)+0)+1＝2×(2×(2×(2×5＋1)+0)+0)+15＝2×2＋1＝2×（2×（2×（2×（22＋1）＋1）＋0）＋0）＋189＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20所以：89=1011001（2）＝2×（2×（2×（23＋2＋1）＋0）＋0）＋1＝2×（2×（24＋22＋2＋0）＋0）＋1＝2×（25＋23+22＋0＋0）＋1＝26＋24+23＋0＋0＋2089＝2×44＋144＝2×22＋022＝2×11＋011＝2×5＋1＝2×(2×(2×(2×(2×2＋1)+1)+0)+0)+1所以89＝2×（2×（2×（2×（2×2＋1）＋1）＋0）＋0）＋12、十进制转换为二进制注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）另解（除2取余法的另一直观写法）：522212010余数11224489222201101练习将下面的十进制数化为二进制数？（1）10（2）20例1：把89化为五进制数。3、十进制转换为其它进制解：根据除k取余法以5作为除数，相应的除法算式为：所以，89=324（5）895175350423余数（2）程序框图：开始输入a,k求a除以k的商q求a除以k的余数rq=0?是否a=q将依次输出的r从右到左排列结束输出r(3)程序：INPUT“a，k=”；a,kb=0i=0DOq=a\kr=aMODkb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOPUNTILq=0PRINTbEND练习：完成下列进位制之间的转化：（1）10231（4）=（10）；（2）235（7）=（10）；（3）137（10）=（6）；（4）1231（5）=（7）；（5）213（4）=（3）；（6）1010111（2）=（4）。•1．进位制是一种记数方式，用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为k，即可称k进位制，简称k进制。k进制需要使用k个数字；•2．十进制与二进制之间转换的方法；先把这个k进制数写成用各位上的数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果。小结•3．十进制数转化为k进制数的方法：（除k取余法）用k连续去除该十进制数或所得的商，直到商为零为止，然后把每次所得的余数倒着排成一个数，就是相应的k进制数。课后检测：•1.十进制数使用0~9十个数字计数，那么二进制使用哪几个数字计数，八进制呢？十六进制呢？•2.k进制数的一般形式是什么？•3.一个十进制数可以表示成不同位上的数字与10的幂的乘积的形式，其它进位制的数是否也可以这样表示？如果可以，请填空•4.根据例3你能总结出将一个k进制数转化成十进制数的方法吗？你能用程序框图和程序表示这一算法吗？•5.根据例5你能总结出将一个十进制数转化成k进制数的方法吗？你能用程序框图和程序表示这一算法吗？二进制：八进制：十六进制：010，1,2,3,4,5,6,70，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A,B,C,D,E,F101112131415K进制数的一般形式：110nnkaaaa其中110110,,,0,0,,,nnnnaaaaNakaaak注意：最高位不能是0236（7）=10011（2）=3452（6）=110()nnkaaaa210273767432101202021212321036465626110110nnnnakakakak12019391K进制数转化成十进制数的方法：先将k进制数写成各位上数字与k的幂的乘积之和的形式，再按照十进制数的运算规则计算出结果练习：将下面的数转化成十进制数(3)10212(8)2376=104=1278方幂法在此过程中有没有反复操作的步骤——循环结构变量及其初始值循环体控制条件b=0i=1t=aMOD10b=b+t*k^(i-1)a=a\10i=i+1in或i=n121()nnkaaaa1210121nnnnakakakak=ba=（共n位）开始输入a,n,kb=0i=1①①把a的右数第i位数字赋给tb=b+t*ki-1i=i+1in?否是输出b结束程序框图INPUTa,n,kb=0i=1DOt=aMOD10b=b+t*k^(i-1)a=a\10i=i+1LOOPUNTILinPRINTbEND思考：如果不知道k进制数a有n位，那么用什么条件来控制循环十进制数化k进制数的方法：除k取余法（从下到上）练习：将137转化成6进制数为：将38转化成2进制数为：(6)345(2)100110十进制转换为二进制把49化为二进制数32122011余数61224492220010注意：1.最后一步商为0，2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：49=110001（2）有没有反复执行的步骤循环结构变量及其初始值循环体控制条件b=0i=oq=a\kr=aMODkb=b+r*10^ii=i+1a=qq=0或q≠0(十进制数a转化为k进制数b)开始输入a，k求a除以k的商q求a除以k的余数r①输出全部余数r排列得到的k进制数否结束a=qq=0?是①程序框图把所得的余数依次从右到左排列INPUT“a,k=“;a,kb=0i=0DOq=a\kr=aMODkb=b+r*10^ii=i+1a=qLOOPUNTILq=0PRINTbEND程序思考？两个非十进制数之间应怎样实现转化？课堂小结1.十进制数与k进制数之间的转化方法2.体会用算法解决上述问题的过程，体验算法在解决问题中的重要作用