第五章-大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理第一节大数定律一、复习切比雪夫不等式定理1(切比雪夫不等式)设是一随机变量,数学期望E(X)与方差D(X)都存在,对任给常数,有X02)(}|)({|XDXEXP2)(1}|)({|XDXEXP等价地二、大数定律1,.2nnn正逐到渐稳定讨论“概率是频率的稳定值”的确切含义例1掷一枚均匀分币，出现正面的概率为1/2.例2测量一个长度为a的物体,算术平均数逐渐稳定到a.1,.niiXann1逐到渐稳定大数定理:就是以确切的数学形式表达大量重复出现的随机现象的统计规律.定义5.1.1设{Xn}是一随机变量序列，若对任意有,0lim0nnPXX成立，.nXX则称{}nX{}nX依概率收敛于X.记为定理5.1.2设{Xn}是一随机变量序列，若1111lim0nnnnniiPXEXnn成立，则称随机变量序列服从大数定律.二、大数定律定理1（切比雪夫大数定律）设X1,X2,…,Xn是一列相互独立的随机变量序列，若存在常数C，使得,,2,1,)(iCXDi则对任意的,0有0)(11lim11niiniinXEnXnP证明niinXnY11则nCXDnYDniin)(1)(12令由切比雪夫不等式，有0)(}|)({|22nnnnnCYDYEYP证毕定理2(切比雪夫大数定律的特殊情况),,,1nXX相互独立且具有相同的数学期望和方差:2)(,)(iiXDXE),,2,1(i则对于任意的,0有01lim1niinXnP此时称niiXn11依概率收敛于,记为PniiXn11设定理3(伯努利大数定律)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为,则对于任意的有)10(pp,00limpnnPAn即频率Ann依概率收敛于概率,p即pnnPA证明令没出现次试验中第出现次试验中第AiAiXi,0,1,2,1i由于),1()(,)(ppXDpXEii,2,1i故由定理2,知有niiAXn1并且)(11niiXEnp0limpnnPAn定理4（Markov大数定律）设是一随机变量序列，若{}nX,0则对于任意的有1111lim0nniiniiPXEXnn211lim()0,niniDXn21111111()nnniiiiiiPXEXDXnnn证由切贝晓夫不等式得2211()0,.niiDXnn例5.1设{Xn}是一独立随机变量序列，若(21)222,012nnnnnPXPX则称{}nX(21)(21)222220(12)0.nnnnnnEX1nDX服从大数定律.证22(21)2(21)2222220(12)1.nnnnnnEX2211()0,.niinDXnnn由Markov大数定律得证.从而定理5（辛钦大数定律）设独立同分布，数学期望均为,则对于任意的,,,1nXX,0有01lim1niinXnP或PniiXn11第二节中心极限定理中心极限定理揭示了正态分布的普遍性。定理1(林德伯格-列维中心极限定理)设,,,1nXX独立同分布,且,)(,)(2iiXDXE则对于任意的实数x,有)(21lim212xdtexnnXPxtniin由该定理,当n很大时,就可以认为近似服从正态分布.niiX1),(2nnN定理2(棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理)设nA是n重伯努利试验中事件A出现的次数,又A在每次试验中出现的概率为则对于任意的实数x,有),10(pp)()1(limxxpnpnpnPAn证明令没出现次试验中第出现次试验中第AiAiXi,0,1,2,1iniiAXn1由于),1()(,)(ppXDpXEii,2,1i并且故由定理1，得证.根据该定理，若),,(~pnBX则当很大时，有n)(})1({xxpnpnpXP例1将一枚硬币连续的抛掷1000次,分别计算出现正面的次数大于530,550的概率.解设X为出现正面的次数,则有)5.0,1000(~BX由棣莫弗-拉普拉斯定理,有}530{1}530{XPXP5.05.010005.010005305.05.010005.010001XP0294.09706.01)8974.1(1250301同理0)1623.3(1250501}550{XP例2某车间有同型号的机床200部,每部机器开动的概率为0.7,假定各机床开关是相互独立的,开动时每部机器要耗电能15个单位,问电厂最少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产?解设表示某一时刻机器开动的台数,则X)7.0,200(~BX设电厂至少要供应个单位的电能,则由题意,有x95.015xXP由棣莫弗-拉普拉斯定理,有3.07.02007.0200153.07.02007.020015xXPxXP95.04214015x查表得,应有65.14214015x故至少须向该车间供应2261个单位的电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.25.22601569.150x例3在一次试验中事件A出现的概率为0.4，应至少进行多少次试验，才能使事件A出现的频率与概率之差在1.0之间的概率不低于0.9？（95.0)65.1(）（6分）解设需进行n次试验，则在这n次试验中事件A出现的次数),(~pnBXn，其中4.0)(APp，于是由德莫弗－拉普拉斯中心极限定理，所求的概率为)1(10)1(}10|{|101pnpnpnpnpXPnnpXPpnXPnnn1)1(102)1(10)1(10pnpnpnpnpnpn9.01242n即95.024n，所以65.124n，解得34.65n，故至少应做66次试验才能使事件A出现的频率与概率之差在1.0之间的概率不低于0.9。例4一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱的平均重50千克，标准差5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.997.解设),,2,1(niXi是装运的第箱的重量,in是所求得箱数,有条件可知,可以把看作是相互独立同分布的随机变量,而总重量nXXX,,,21nnXXXT21是独立同分布的随机变量之和.由林德伯格-列维定理,由题意知,5)(,50)(iiXDXE并且要求满足n)2(997.0}5000{nTPnnnnTPTPnn5505000550}5000{nn101000所以必须满足n2101000nn0199.98n即最多可以装98箱。概率论中的关键词随机试验,样本空间,事件,频率,概率,等可能概型,条件概率,全概率公式,贝叶斯公式,独立性,伯努利概型;随机变量,分布函数,分布律,概率密度,边缘概率密度,条件概率密度,独立性;数学期望,方差,协方差,相关系数.0-1分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,指数分布,正态分布