第1章近世代数基本概念汇总

2020/2/25近世代数基础(AbstractAlgebra)《近世代数》课程是现代数学的基础,既是中学代数的继续发展，也是高等代数课程的继续和发展,同时它又同拓扑学、实变函数与泛函分析构成现代数学的三大基石，是进入数学王国的必由之路，是数学与应用数学专业学生必修的重要基础课。2020/2/25高度的抽象是近世代数的显著特点，它的基本概念：群、环、域，对初学者也是很抽象的概念，因此，在本课程的学习中，大家要多注意实例,以加深对概念的正确理解。近世代数的习题，因抽象也都有一定的难度，但习题也是巩固和加深理解不可缺少的环节，因此，应适当做一些习题，为克服做习题的困难，应注意教材内容和方法以及习题课内容。近世代数基础(AbstractAlgebra)2020/2/25引言近世代数理论的两个来源两千多年之前古希腊时代数学家就能够利用开方法解二次方程ax2+bx+c=0。16世纪初欧洲文艺复兴时期之后，求解高次方程成为欧洲代数学研究的一个中心问题。1545年意大利数学家G.Cardano(卡尔达诺)在他的著作《大术》中给出了三、四次多项式的求根公式，此后的将近三个世纪中人们力图发现五次方程的一般求解方法，但是都失败了。直到1824年一位年青的挪威数学家N.Abel才证明五次和五次以上的一般代数方程没有求根公式。但是人们仍然不知道什么条件之下一个已知的多项式能借助加、减、乘、除1)代数方程的解2020/2/25有理运算以及开方的方法求出它的所有根,什么条件之下不能求根。最终解决这一问题的是法国年青数学家Galois(1811-1832)，Galois引入了扩域以及群的概念，并采用了一种全新的理论方法发现了高次代数方程可解的法则。在Galois之后群与域的理论逐渐成为现代化数学研究的重要领域，这是近世代数产生的一个最重要的来源。引言近世代数理论的两个来源2020/2/25加罗华全新的研究领域，以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论迅速发展成为一门崭新的数学分支，对近世代数的形成和发展产生了巨大影响。被誉为天才数学家的伽罗瓦是近世代数的创始人之一。他提出的“伽罗瓦域”、“伽罗瓦群”和“伽罗瓦理论”是近世代数所研究的最重要的课题。伽罗瓦群理论被公认为十九世纪最杰出的数学成就之一。他给方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，解决了困扰数学家们长达数百年之久的问题。群论开辟了全引言近世代数理论的两个来源2020/2/252)Hamilton四元数的发现长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法，后来发现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi，其中i2=-1。二元数按(a,b)±(c,d)=(a±c,b±d)，(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进行代数运算，二元数具有直观的几何意义；与平面上的点一一对应。二元数理论产生的一个直接问题是：是否存在三元数？经过长时间探索，力图寻求三元数的努力失败了。但是爱爱尔兰数学家W.Hamilton(1805-1865)于1843年引言近世代数理论的两个来源2020/2/25成功地发现了四元数。四元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算，但与以前的数系相比，四元数是一个乘法不交换的数系。从这点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点，它是近世代数的另一个重要理论来源。引言近世代数理论的两个来源2020/2/25第一章基本概念§1.集合§2.映射§3.代数运算§4.结合律§5.交换律§6.分配律§7.一一映射、变换§8.同态§9.同构、自同构§10.等价关系与集合的分类2020/2/25§1集合集合若干个固定事物的全体.组成集合的对象称为集合的元素。集合一般用大写字母A，B，C，…来表示。集合的元素一般用小写字母a，b，c，…来表示。集合与元素的关系：若a是A的一个元素，则说a属于A，或说A包含a，记为a∈A;若a不属于A,或说A不包含空集合一个没有元素的集合，记为Ø。aAa,记为.子集若集合B的每一个元素都属于集合A,则说B是A的子集，记为;否则,B不是A的子集，记为BA.BAAB.xxAxB，集合相等:,.ABABBA且A和B的交集:{,}ABaaAaB并且真子集若B是A的子集,且至少有一个A的元素不属于B,则说B是A的真子集，记为.BA并集：{ABaaAaB或}以集合A的所有子集为元素的集合，称为A的幂集，记为P(A).A=；如果集合A包含有无穷多个元素，则记为2.nA=nPA，且()如果集合A包含n个元素，则记为§1集合2020/2/25两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去。121,niniAAAA121.niniAAAA1niixAnAAA,,,21nAAA,,,21设是给定的集合.由的一切元§1集合nAAA,,,21nAAA,,,21素所成的集合叫做的并；由的一nAAA,,,21切公共元素所成的集合叫做的交.nAAA,,,21的并和交分别记为：,.iiAxA1niixA,.iiAxA2020/2/25集合的差运算：}|{BxAxxBA但即A-B是由一切属于A但不属于B的元素所组成。注意：并没有要求B是A的子集.例如，ØC可以定义多个集合的积：},|),{(BbAabaBA§1集合集合的积：设A，B是两个集合，令12121{(,,)}ninniiiAAAAaaaaA则称A×B为A与B的笛卡儿积(简称为积).其中序对(a,b)的第一个元素a称为第一分量(或坐标)，第二个元素b称为第二分量(或坐标).2020/2/25常用的数集：全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为C§1集合2020/2/25§2映射定义设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作.:YXf元素y称为元素x在映射f下的像,记作).(xfy元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集)(XfRfXxxf)(称为f的值域.XYf2020/2/25例1设}4,3,2,1{BA14,43,32,21:f例2设A是非零有理数集，B是整数集.令:nfnm§2映射注意:1)映射三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.则f是A到B的一个映射.则f不是A到B的一个映射.因为1224,1224ff但是（）（）2020/2/25§2映射多元映射:12nnAAAD定义设有个集合，，，和一个集合。1212(,,),,nnaaaAAA如果通过一个法则唯12ndDAAADn一的,则称是到的一个元映射。1212(,,);(,,)nndaaaaaad叫做在之下的象叫做在下()的一个逆象原象.用符号表示:1212(,,)(,,)nnaaadaaa:例312nAAADR设，定义：例4A={东,南},B={南},D={高,低}.定义:()()西,南西,南=高例5设A=D=R.定义§2映射222121212(,,)(,,)nnnaaaaaaaaa:12nAAAD则是一个到的映射.AB则不是一个到D的映射.2:,11,1aaabb若是这里AD则不是一个到的映射.映射定义要注意以下几点:映射相等:1212nAAAD设和都是到的映射.则§2映射12,,,,nAAAD1）集合可以相同;12,,,nAAA2）的次序不能掉换;3）映射一定要替每一个元规定一个象;4）一个元只能有惟一的象;5）所有的象都必须是D的元.12=1212112212(,,),(,,)(,,)nnnnaaaAAAaaaaaa有§3代数运算实数集上有加、减、乘等运算，这些运算可以看成是二元映射。比如加法：:(,)(,).ababab定义1一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算.即代数运算就是一种二元映射.(2)一个代数运算可以用表示，并将(a,b)在下的注(1)为什么叫运算？不妨设是映射，若:ABD．，则可以说a和b在的法则下运算得到d。(,)abd像记作.ab§3代数运算例1A={所有整数},B={所有不等于整数},D={所有有理数}:(,)aababb定义ABD则是一个到的代数运算,也就是一个普通的除法.注意:当A=B的时候,A×B=B×A,但这并不是说,,aAbBabba有=AAAA若是一个到的代数运算定2，则称集合义A对于运算是闭的，或称是的代数运算或二元运算。§3代数运算例1设A是正整数集，问下列运算是不是A的代数运算?1)aabb，2)10abab223)abab，4)(1)abab根据定义，它们都不是A的代数运算。例4设A＝｛a,b,c｝．规定A的两个不同的代数运算．练习：例2并与交是否是非空集合A的幂集P(A)的代数运算?例3矩阵乘法是否是全体n阶可逆矩阵的代数运算？在A和B都是有限集的时候,一个A×B到D的代数运算常用一个表来表示.§3代数运算1212{,,,},{,,,},nmijijAaaaBbbbabdD设而=，ABD则到的二元运算可以表示为(称为运算表或乘法表)：1211112122122212mmmnnnnmbbbadddadddaddd§4结合律,ARabAA，，规定的代数运引例算如下：=23abab，请计算：()()abcabc(23)abc2(23)3abc463abc(23)abc23(23)abc269abc结论：一个集合的代数运算并不能保证()()abcabc()abc()abcAAabcabcabcabc称一个集合的代数运算适合结合律，假如对于的任何三个元，，来说，都有（）（）(注意：，，可以是相定义同的元)。§4结合律结合律的作用：◆在集合A中任意取3个元a1，a2，a3，运算abc一般没有意义，除非结合律成立。12nAnaaa一般情况，在里任意取个元，，，，符号12naaa当然也是没有意义的，但是假如用一个加括号的步骤，当然也会得到一个结果．加括号的步骤自然不止一种，但因为是一个有限整数，这种步骤的个数总是一个有限整数,假定它是N.我们把由这N个步骤所得的结果用11221212()()()nnNnaaaaaaaaa，，，§4结合律来表示，这样得到的N个未必相等，规定12()naaa假如对于A的个固定的元来说,所有的都相等,我们就用来表示这唯一的结果.问题什么条件下,所有的都相等?12(...)naaa(2)nn12,,...naaa12(...)naaa12...naaa定理假如一个集合A的代数运算适合结合律,那么§4结合律(2)nn12,,...naaa对于A的任意个元来说,所有的12()naaa12...naaa都相等;因此符号也就总有意义．证明对n用数学归纳法.(I)n=2,3时，定理是对的．1n(II)假定个数，定理是对的．在这个假定之下，如果我们能够证明:对于一个任意的来说12()naaa(一个固定的结果)定理也就证明了.1212()()(1)nnaaaaaa这一个是经过一种加括号的步骤所得来的结12()naaa§4结合律果,这个步骤的最后一步总是对两个元进行运算:1212()naaabbi1b这里,是前面若干个,假定是个元经过一个加12,,,iaaa2bni括号的步骤所得的结果,是其余的个元12,,,iinaaa由归纳法的假定,经过一个加括号的步骤所得的结果。因为和都ini1,n,211iaaabniiaaab212))(()(212121ni