正态分布的概率密度与分布函数(修)

上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回第四章正态分布§4.1正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回正态分布是最常见因而也是最重要的分布:1.很多随机现象可以用正态分布描述或近似描述；2.在一定条件下，某些概率分布可以利用正态分布近似计算；3.在非常一般的充分条件下，大量独立随机变量的和近似地服从正态分布；4.数理统计中:(1)某些常用分布是由正态分布推导得到的.(2)统计推断中常用正态分布的统计量.§4.1正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[定义]若随机变量X的概率密度为,,eπ21)(222)(xxfx正态分布(或高斯分布).记作：).,(~2NX§4.1正态分布的概率密度与分布函数正态分布的定义).1,0(~NX当,01时称X服从标准正态分布.特别，记为：其中及都是常数，.0则称随机变量X服从上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回正态分布),(2N的概率密度)(xf的图形：分布曲线的特征：1.关于直线x对称；2.在x处达到最大值；3.在x处有拐点；4.x时曲线以x轴为渐近线.§4.1正态分布的概率密度与分布函数)(xf21Ox正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回5.固定,改变.则图形沿x轴平移而不改变其形状.6.固定改变,,则当很小时，曲线的形状与一尖塔相似；当值增大时，曲线将趋于平坦.§4.1正态分布的概率密度与分布函数)(xfOx15.135.7上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回正态分布),(2N的分布函数为.,eπ21)(222)(xdxxFxx§4.1正态分布的概率密度与分布函数)(xF5.0Ox1上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回标准正态分布的概率密度：,eπ21)(22xx;x标准正态分布的分布函数：.eπ21)(22dtxΦxt§4.1正态分布的概率密度与分布函数)(x的性质：;5.0)0(;1)().(1)(xx上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例1]设X服从标准正态分布,)1,0(N求);96.1()1(XP).5.26.1()2(XP解：)96.1(XP)96.1(;975.0)5.26.1(XP)6.1()5.2()]6.1(1[)5.2()6.1(1)5.2(9452.019938.0.9390.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数)1()2(上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[定理],),(~2NX设)(21xXxP).()(12xx证：)(21xXxPdxxxx21222)(e21则§4.1正态分布的概率密度与分布函数dtxxt2122eπ21dtxt222eπ21dtxt122eπ21).()(12xxxt一般正态分布的概率计算上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例2]设随机变量X服从正态分布,)2,1(2N求概率).4.26.1(XP解：)4.26.1(XP)216.1()214.2()3.1()7.0()]3.1(1[)7.0()9032.01(7580.0.2166.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例3]设随机变量X服从正态分布,),(2N在区间),(kk内的概率，这里.,3,2,1k解：)(kXP)(kXkP)()(kk)()(kk)](1[)(kk,1)(2k.,3,2,1k§4.1正态分布的概率密度与分布函数求X落上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回查附表2得)(XP1)1(2,6826.0)2(XP1)2(2,9544.0)3(XP1)3(2.9973.0说明：若,),(~2NX则)3(XP)3(1XP9973.010027.0.003.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回由此可知X落在)3,3(之外的概率小于3‰，根据小概率事件的实际不可能性原理，通常把区间这一原理叫做“三倍标准差原理”).3(法则或§4.1正态分布的概率密度与分布函数可能的取值)3,3(看作是随机变量X的实际区间.上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例4]某机器生产的螺栓的长度（cm)服从正态分布)06.0,05.10(2N,规定长度在范围12.005.10内为正品，求产品的正品率。解)06.0,05.10(~2NX)12.005.10(xP)206.005.10(xP)2()2(1)2(29544.0故产品的正品率为9544.0上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例5]公共汽车车门的高度是按男子与车门碰头的机会在01.0以下来设计的。设男子的身高).7,168(~2NX问车门的高度应如何确定？解设车门高度为),(cmx则01.0)(xXP99.0)(xXP,99.0)71687168(xXP,99.09901.0)33.2(33.27168x31.184x故车门高度应设计为31.184厘米。于是即由于可取,99.0)7168(x上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例6]设随机变量X服从标准正态分布,)1,0(N机变量函数2XY的概率密度.解：已知随机变量X的概率密度)(xfX,eπ2122x.x先求随机变量Y的分布函数：)(yFY)(yYP).(2yXP当0y时，;0)(yFY§4.1正态分布的概率密度与分布函数求随上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回当0y时，)(yFY)(yXyPdxyyx22eπ21所以，Y的分布函数为.0,0;0,eπ22022yydxyx)(yFY§4.1正态分布的概率密度与分布函数yOxyyy上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回.0,0;0,eπ21221yyyy)(yfY所得的分布称为自由度为1的2分布.§4.1正态分布的概率密度与分布函数求导得到的概率密度Y上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回1.正态分布),(2N的概率密度：,eπ21)(222)(xxf.x2.标准正态分布)1,0(N的概率密度与分布函数：)(x,eπ2122x.x§4.1正态分布的概率密度与分布函数小结.eπ21)(22dtxΦxt上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回3.标准正态分布分布函数的性质：).(1)(xx4.利用)(x求正态变量落在某区间内的概率：则若),,(~2NX)(21xXxP).()(12xx§4.1正态分布的概率密度与分布函数上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回补充例题[例1]测量到某一目标的距离时发生的随机误差)(mX具有概率密度,eπ2401)(3200)20(2xxfm30的概率.解：正态分布,)40,20(2N于是§4.1正态分布的概率密度与分布函数求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过按题意，每次测量时发生的随机误差)(mX服从上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回)30(XP)3030(XP)402030()402030()25.1()25.0()8944.01(5987.0.4931.0所以，在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过m30的概率3)4931.01(1p.8698.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数)]25.1(1[)25.0(上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例2]已知某机械零件的直径(mm)服从正态分布,)6.0,100(2N规定直径在(mm)2.1100内为合格品.求这种机械零件的不合格品率.解：设随机变量X表示这种机械零件的直径,(mm)则,)6.0,100(~2NX按题意，不合格品率为§4.1正态分布的概率密度与分布函数)2.1100(XP)2.1100(1XP)26.0100(1XP)26.01002(1XP)]2()2([1)]9772.01(9772.0[10456.0%.56.4上一页下一页概率论与数理统计教程（第四版）目录结束返回[例3]若随机变量,),2(~2NX且,3.0)42(XP则.______)0(XP解：已知,),2(~2NX则有)22()24()42(XP)0()2(5.0)2(3.0§4.1正态分布的概率密度与分布函数)22()0(XPXP)2()2(1.2.08.01由此可得,8.0)2(答：应填0.2.从而