高三数学一轮复习 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 理 新人教A版

第八节正弦定理、余弦定理的应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线______的角叫仰角，在水平线_______的角叫俯角(如图3－8－1①)．上方下方2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向_________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1②)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．顺时针1．仰角、俯角、方位角有什么区别？【提示】三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．如何用方位角、方向角确定一点的位置？【提示】利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．1．(人教A版教材习题改编)如图3－8－2所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm【解析】在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝3a.【答案】B2．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．【解析】在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得ACsin60°＝ABsin45°，故AC＝6.【答案】63．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．【解析】如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin120°＝PMsin45°，∴MN＝346.又由M到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．【答案】17264．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.【答案】60【解析】因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，所以S△ABC＝12·AC·AB·sinA＝12×120×120×12＝3600，设这条河的宽度为h，则S△ABC＝12×AB·h，∴h＝AC·sinA＝120×12＝60(m)．(2013·佛山调研)如图3－8－4所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【尝试解答】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，【思路点拨】在△BAD中，由正弦定理，求DB→△BCD中，用余弦定理求CD→求时间t∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203(海里)．在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)．则需要的时间t＝3030＝1(小时)．1．利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关三角形中，建立一个解三角形的模型；2．利用正、余弦定理解出所求的边和角，得出该数学模型的解．某单位在抗震救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一个平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图3－8－5)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝CDsin45°sin60°＝23CD，在△BCD中，CD＝6000，∠BCD＝30°，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，根据正弦定理BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042，实际所需电线长度约为1.2AB≈7425.6(m).(2013·东莞质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为340米/秒)【思路点拨】用|AC|表示|BC|，在△ABC中，根据余弦定理列方程求|AC|，在△ACH中，求|CH|.【尝试解答】由题意，设|AC|＝x，则|BC|＝x－217×340＝x－40，在△ABC中，由余弦定理得：|BC|2＝|BA|2＋|CA|2－2|BA|·|CA|·cos∠BAC，∴(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，|AC|＝420，∠CAH＝30°，∠ACH＝90°，所以|CH|＝|AC|·tan∠CAH＝1403.答：该仪器的垂直弹射高度CH为1403米．1．在测量高度时，要准确理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；2．分清已知条件与所求，画出示意图；明确在哪个三角形内运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形．某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶A仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，求该塔的高度．【解】如图所示，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h，在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，∴OD＝3·OA＝3h，在△OCD中，CD＝10，且∠OCD＝120°，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．因此该塔的高度为10米．在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(3－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？【思路点拨】设缉私船t小时后在D处追上走私船，确定出三角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间．【尝试解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝103t，BD＝10t.在△ABC中，AB＝3－1，AC＝2，∠BAC＝120°.利用余弦定理可得BC＝6.由正弦定理，得sin∠ABC＝ACBCsin∠BAC＝26×32＝22，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝BDsin∠CBDCD＝10t·sin120°103t＝12，得∠BCD＝30°，又CDsin120°＝BCsin30°，即103t3＝6，得t＝610.所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花610小时．测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离；(2)用正弦定理或余弦定理解三角形；(3)将解得的结果转化为实际问题的解．如图3－8－7所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．图3－8－7【解】如题图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝207，由正弦定理得，ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，∴sin∠ACB＝ABBCsin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝277.由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝2114.故cosθ的值为2114.解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．从近两年高考试题看，高考对正、余弦定理的实际应用考察较少，但此部分内容能较好地考察学生的阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力及函数与方程的思想，因此应积极备考．思想方法之八构建三角形模型解决实际应用问题(2013·清远模拟)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【规范解答】(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S海里，如图所示．在△AOB中A＝90°－30°＝60°，∴S＝900t2＋400－2·30t·20·cos60°＝900t2－600t＋400＝900（t－13）2＋300.故当t＝13时，Smin＝103，此时v＝10313＝303.∴小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)由题意可知OB＝vt，在△AOB中利用余弦定理得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30tcos60°，故v2＝900－600t＋400t2.∵0＜v≤30，∴900－600t＋400t2≤900，即2t2－3t≤0，解得t≥23，又t＝23时，v＝30(海里/小时)，故v＝30时，t取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇．易错提示：(1)理解能力差，