高一数学同步练习(必修4第一章三角函数的图象及性质)

1高一数学同步练习必修4第一章三角函数的图象及性质一、三角函数的图象与性质A.基础梳理1．“五点法”描图(1)y＝sinx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．(2)y＝cosx的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)．2．三角函数的图象和性质函数性质y＝sinxy＝cosxy＝tanx定义域RR{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：kπ＋π2，0k∈Z无对称轴对称中心：kπ2，0(k∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)；单调减区间2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)单调增区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；单调减区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)单调增区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)奇偶性奇偶奇2B.方法与要点1、两条性质(1)周期性函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|.(2)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．2、三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．C.双基自测1．函数y＝cosx＋π3，x∈R()．A．是奇函数B．是偶函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数2．函数y＝tanπ4－x的定义域为()．A.xx≠kπ－π4，k∈ZB.xx≠2kπ－π4，k∈ZC.xx≠kπ＋π4，k∈ZD.xx≠2kπ＋π4，k∈Z3．已知k＜－4，则函数)1(cos1cos22xkxy的最小值是()(A)1(B)－1(C)2k＋1(D)－2k＋14．y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是()．A．(－π，0)B.－3π4，0C.3π2，0D.π2，05．函数f(x)＝cos2x＋π6的最小正周期为________．D.考点解析考点一三角函数的定义域与值域【例1－1】►(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域．(2)求函数y＝cos2x＋sinx|x|≤π4的最大值与最小值．3(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①sinyaxb，设sintx化为一次函数yatb在闭区间[1,1]t上的最值求之；②形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；③形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；④形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．【训练1】（1）求函数y＝sinx－cosx的定义域．（2）（辽宁卷）已知函数11()(sincos)sincos22fxxxxx,则()fx的值域是(A)1,1(B)2,12(C)21,2(D)21,2(3)（广东卷）当04x时,函数22cos()cossinsinxfxxxx的最小值是()A.4B.12C.2D.14考点二三角函数的奇偶性与周期性【例2－1】►判断下列函数的奇偶性及周期性，若具有周期性，则求出其周期.（1）xxfsin)(（2）xxfsin)(（3）xxfcoslog)(2＝（4）)2sin(3)(xxf＝求三角函数的最小正周期的一般方法：①先化为)sin(xAy，在由公式2T求之；②由周期函数的定义：)()(xfTxf求得③一般地，)sin(xy或)cos(xy的周期是不含有绝对值的函数的周期的一半4【例2－2】►设有函数3sinkxaxf和tan,03xbkxk，若它们的最小正周期的和为23，且22f，1434f，求xf和x的解析式。【例2－3】►已知函数12()log2sin()4fxx．（1）求它的定义域，值域；（2）判定它的奇偶性和周期性；（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．【训练2】1、定义在R上的函数)(xf既是偶函数又是周期函数，若)(xf的最小正周期是，且当]2,0[x时，xxfsin)(，则)35(f的值为A.21B.21C.23D.232、函数2sinxy的最小正周期是A2BC2D43、函数xxycos的部分图象是4、给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线3x对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是（）A．)62sin(xyB．)62sin(xyC．||sinxyD．)62sin(xyxxxxOOOOyyyyABCD5考点三三角函数的单调性【例3－1】►已知)2sin(2)(xxf，,0x求)(xf的单调递增区间．【例3－2】►(2011年高考安徽卷理科9)已知函数()sin(2)fxx，其中为实数，若()()6fxf对xR恒成立，且()()2ff，则()fx的单调递增区间是（A）,()36kkkZ（B）,()2kkkZ（C）2,()63kkkZ（D）,()2kkkZ[来源:（1）求三角函数的单调区间的一般方法是：①首先化为)sin(xAy；②再解不等式：2222kxk（增函数区间）或23222kxk（减函数区间）（也可先解22x（增）或232x，然后再在区间端点前面加上周期的k倍）（2）如果题目中还限制了自变量x的取值范围，还应在规定范围下求单调区间的子区间。【训练3】1、sin3yx的单调减区间是（）A．5,66kkkB．52,266kkkC．7,66kkkD．72,266kkk62、（2011年全国新课标卷）设函数)2,0)4sin(2)(（＋xxf的最小正周期为，且)()(xfxf，则A.)(xf在2,0单调递减B.)(xf在43,4单调递减C.)(xf在2,0单调递增D.)(xf在43,4单调递增考点四三角函数的对称性【例4－1】►(1)函数y＝cos2x＋π3图象的对称轴方程可能是()．A．x＝－π6B．x＝－π12C．x＝π6D．x＝π12(2)若0＜α＜π2，g(x)＝sin2x＋π4＋α是偶函数，则α的值为________．（3）（全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)yx的图像关于点4(,0)3中心对称，那么的最小值为(A)6(B)4(C)3(D)2【例4－2】►已知函数)2sin(3)(xxf，若3)(af，则)65(af与)12(af的大小关系是A、)65(af)12(afB、)65(af)12(afC、)65(af=)12(afD大小与a、有关（1）正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记住它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．（2）三角函数的对称性及其应用：①对称中心图象上的平衡点，对称轴图象上的极值点；②三角函数的对称性也符合对称中心及对称轴的一般公式。7【训练4】(1)函数y＝2sin(3x＋φ)||φ＜π2的一条对称轴为x＝π12，则φ＝________.(2)如果函数cos2yx＝3＋的图像关于点43，0中心对称，那么的最小值为（A）6（B）4（C）3(D)2（3）)22,0,0)(sin()(AxAxf的图象关于x＝32对称，它的周期是，则（）A、f（x）的图象过点（0，)21B、f（x）在区间]132,125[上是减函数C、f（x）的图象的一个对称中心是点（)0,125D、f（x）的最大值是A（4）已知()sin()(0),()()363fxxff,且()fx在区间(,)63有最小值,无最大值,则__________.二、正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用A.基础梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤83．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．B.方法与要点1、一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．2、一个区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．3、两个注意作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时先作一个周期的图象，再由周期性作整个函数的图象．C.双基自测1．y＝2sin2x－π4的振幅、频率和初相分别为()．A．2，1π，－π4B．2，12π，－π4C．2，1π，－π8D．2，12π，－π82.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()．A．T＝6π，φ＝π6B．T＝6π，φ＝π3C．T＝6，φ＝π6D．T＝6，φ＝π33．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为()．A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx解析由图象的平移得g(x)＝cosx＋π2＝－sinx.4．设ω＞0，函数