椭圆综合题(含答案)

1椭圆综合题一、椭圆中的定值、定点问题1、已知椭圆两焦点1F、2F在y轴上，短轴长为22，离心率为22，P是椭圆在第一象限弧上一点，且121PFPF，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭[来源:学科网]圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；2、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:13xCy.如图所示，斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.（Ⅰ）求22mk的最小值；（Ⅱ）若2OGOD∙OE，求证：直线l过定点；椭圆中的取值范围问题1、已知直线l与y轴交于点(0,)Pm，与椭圆22:21Cxy交于相异两点A、B，且3APPB，求m的取值范围．22、.已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为)0,1(A、)0,1(B，一个顶点为)0,2(H.（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点)0,(tP，椭圆E上存在点M，使得MHMP，求t的取值范围.椭圆中的最值问题1.如图，DPx轴，点M在DP的延长线上，且||2||DMDP．当点P在圆221xy上运动时。（I）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点22(0,)1Tty作圆x的切线l交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。2、已知椭圆22:14xGy.过点(,0)m作圆221xy的切线l交椭圆G于A,B两点.将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.3一|：1、解：（1）设椭圆方程为22221yxab，由题意可得2,2,22abc，所以椭圆的方程为22142yx则12(0,2),(0,2)FF，设0000(,)(0,0)Pxyxy则100200(,2),(,2),PFxyPFxy221200(2)1PFPFxy[来源:学_科_网Z_X_X_K]点00(,)Pxy在曲线上，则22001.24xy220042yx从而22004(2)12yy，得02y，则点P的坐标为(1,2)。（2）由（1）知1//PFx轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为(0)kk，则PB的直线方程为：2(1)ykx由222(1)124ykxxy得222(2)2(2)(2)40kxkkxk设(,),BBBxy则2222(2)222122Bkkkkxkk同理可得222222Akkxk，则2422ABkxxk28(1)(1)2ABABkyykxkxk所以直线AB的斜率2ABABAByykxx为定值。2、解：（Ⅰ）由题意:设直线:(0)lykxnn,由2213ykxnxy消y得:222(13)6330kxknxn,2222364(13)3(1)knkn×2212(31)0kn4设A11(,)xy、B22(,)xy,AB的中点E00(,)xy,则由韦达定理得:[来源:学科网]12xx=2613knk,即02313knxk,002313knykxnknk213nk,所以中点E的坐标为23(,13knk2)13nk,因为O、E、D三点在同一直线上，所以OEODkK，即133mk，解得1mk，所以22mk=2212kk,当且仅当1k时取等号,即22mk的最小值为2.（Ⅱ）证明:由题意知:n0,因为直线OD的方程为3myx,所以由22313myxxy得交点G的纵坐标为223Gmym,又因为213Enyk,Dym,且2OGOD∙OE，所以222313mnmmk,又由（Ⅰ）知:1mk,所以解得kn,所以直线l的方程为:lykxk,即有:(1)lykx,令1x得,y=0,与实数k无关,二：1、解：（1）当直线斜率不存在时：12m（2）当直线斜率存在时：设l与椭圆C交点为1122(,),(,)AxyBxy2221ykxmxy得222(2)210kxkmxm22222(2)4(2)(1)4(22)0kmkmkm（*）212122221,22kmmxxxxkk∵3APPB，∴123xx，∴122212223xxxxxx.消去2x，得212123()40xxxx，2222213()4022kmmkk整理得22224220kmmk5214m时，上式不成立；214m时，2222241mkm，∴22222041mkm，∴211m或121m把2222241mkm代入（*）得211m或121m∴211m或121m综上m的取值范围为211m或121m。2、解：（1）由题意可得，1c，2a，∴3b．∴所求的椭圆的标准方程为：22143xy．（2）设),(00yxM)20x（，则2200143xy．①且),(00yxtMP，),2(00yxMH，由MHMP可得0MHMP，即∴0)2)((2000yxxt．②由①、②消去0y整理得3241)2(0200xxxt．∵20x∴23411)2(4100xxt．∵220x，∴12t．∴t的取值范围为)1,2(.三：1、解:设点M的坐标为yx,，点P的坐标为00,yx，则0xx，02yy，所以xx0，20yy，①因为00,yxP在圆122yx上，所以12020yx②将①代入②，得点M的轨迹方程C的方程为1422yx．6（Ⅱ）由题意知，1||t．当1t时，切线l的方程为1y，点A、B的坐标分别为),1,23(),1,23(此时3||AB，当1t时，同理可得3||AB；当1t时，设切线l的方程为,mkxyRk由,14,22yxtkxy得042)4(222tktxxk③设A、B两点的坐标分别为),(),,(2211yxyx，则由③得：222122144,42ktxxkktxx．又由l与圆122yx相切，得,11||2kt即.122kt所以212212)()(||yyxxAB]4)4(4)4(4)[1(222222ktktkk.3||342tt因为,2||3||343||34||2ttttAB且当3t时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2[来源:学.科.网Z.X.X.K]依题意，圆心O到直线AB的距离为圆122yx的半径，所以AOB面积1121ABS，当且仅当3t时，AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为3,0或者3,0．72、解：由题意知，||1m.当1m时，切线l的方程为1x，点A,B的坐标分别为33(1,),(1,)22，此时||3AB；当1m时，同理可得||3AB；当1m时，设切线l的方程为()ykxm.由22()14ykxmxy得22222(14)8440kxkmxkm.设A,B两点的坐标分别为1122(,),(,)xyxy.又由l与圆221xy相切，得2||11kmk，即2221mkk.所以222221212112||()()(1)[()4]ABxxyykxxxx42222222644(44)(1)[](14)14kmkmkkk243||3mm.由于当1m时，||3AB，243||43||233||||mABmmm，当且当3m时，||2AB.所以|AB|的最大值为2.