双曲线的定义

双曲线及其标准方程授课人：荆先进•（1）掌握双曲线的定义，焦点坐标及焦距的概念。•（2）理解双曲线标准方程的推导过程.•(3)理解并且会应用焦点的坐标求解相应的题目.学习目标问题引入•什么叫做椭圆？•在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆．引入问题在平面内到两定点F1、F2的距离的差等于常数的点的轨迹叫什么？定义探讨•1.|MF1|－|MF2|＝2a•问题：上式表示什么曲线？•2.当2a2c时•当2a＝2c时•当2a2c时双曲线的定义•平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝•2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．注意：•（1）当ac时，P点的轨迹是双曲线；•（2）当a＝c时，P点的轨迹是两条射线；•（3）当ac时，P点不存在．方程推导•取过两焦点的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴.设P（x,y）为双曲线上的任意一点，则p与两定点距离之差的绝对值等于2a（常数）。A2A1PF2F1xOyaPFPFPP221221)(ycxPF又aycxycx2)()(2222)()(22222222acayaxac化简，得：ca22022ac由定义222bac222222bayaxb22ba12222byax两边同除以得:令代入,得:此即为双曲线的标准方程)0,(),0,(21cFcF它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是想一想：•若焦点在轴y上，标准方程会有哪些变化呢？A2A1F2F1xOy12222bxay双曲线标准方程是：•3．双曲线的标准方程的特点：（1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：焦点在轴上时双曲线的标准方程为：12222byax12222byax0a0b12222bxaycba,,222bac0,0,0cba奎屯王新敞新疆bababa,,奎屯王新敞新疆(2)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为4.焦点的位置:•从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴.•而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上三、讲解范例：•例1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量的值12422yx12222yx12422yx369422xy1232222xy奎屯王新敞新疆①②③④•例2写出下列双曲线的焦点坐标。221169xy221916xy221916yx221169yx（1）（2）（3）（4）)0,5()0,5(21FF，)0,5()0,5(21FF，奎屯王新敞新疆x12222byax0a0b5,3ca116922yx例3已知双曲线两个焦点的坐标为，双曲线上一点P到两定点的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程。解：因为双曲线的焦点在轴上，()所求双曲线标准方程为所以设它的标准方程为abx奎屯王新敞新疆a5y奎屯王新敞新疆课堂练习：=4，=3，焦点在轴上的双曲线的.2．求=2，经过点（2，-5），焦点在轴上的双曲线的标准方程1．求标准方程191622yx1162022xy例4若方程22121xymm表示双曲线，求m的范围。若表示焦点在y轴上，求m的范围。210mm2,m1m解:由得:或思考:M-2例5k1则关于x,y的方程22211kxyk表示什么曲线？222111yxkk1kj解：由于所以，方程可化为：表示焦点在y轴上的双曲线。1cossin22yxy191622yx)0,5()0,5(奎屯王新敞新疆y奎屯王新敞新疆课堂练习：表示焦点在轴上的双曲线，则角A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限上的点P到点的距离为15，则P点到A．7B.23C.5或23D.7或23答案3.D.3．若方程所在象限是（）4．设双曲线的距离是()4.D.•5．(2011·西城区)某圆锥曲线C是椭圆或双•曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标•轴，且过点，则()•A．曲线C可为椭圆也可为双曲线•B．曲线C一定是双曲线•C．曲线C一定是椭圆•D．这样的曲线C不存在32,23,,52AB2214yx-=22+1mxny=解析设此曲线方程(m≠0，n≠0)∴解之，得线C为双曲线答案B)0,0(12222babyaxx)0,0(12222babxayy奎屯王新敞新疆cba,,222bac0,0,0cbabababa,,奎屯王新敞新疆(1)双曲线的两类标准方程是焦点在轴上;焦点在轴上.有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为课后作业：P61A组1,2小结：(2)课后思考:若椭圆与双曲线有相同的焦点F1和F2，P是两曲线的一个公共点。的值是（）2210xymNmn2210,0xystst12.PFPF()Ams1)2Bms22()Cms()Dms则,谢谢！