哈工大力学习题课下

力学部分习题（二）姜桂铖2015.4.10刚体的定轴转动一、描述刚体定轴转动的物理量2iiiJmr转动惯量2Jrdm角位移21角速度ddt角加速度22dddtdt角量和线量的关系2,,tnvvraravr角动量力矩力矩的功21AMd转动动能212kEJ(1)转动惯量平行轴定理(2)刚体定轴转动定理2zcJJMhMJ二、基本定律(3)定轴转动刚体的动能定理22211122kAEJJ外0A内(4)角动量守恒定律系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时，系统对此轴的总角动量保持不变(5)机械能守恒定律只有保守力做功时，kpEE常量三、题型以及例题求特殊形状刚体的转动惯量刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量守恒的应用作业题：3.7由质点系的功能原理：得：mFmgkxFmgxkmpFmgEkxk22m1()22Fmgxkx2mm1()2Fmgxkm2()pFmgEkxk22m12()2?1.从一个半径为R的均匀薄圆板上挖去一个半径为R/2的圆板，所形成的圆洞的中心在距圆薄板中心R/2处，所剩薄板的质量为m。求此时薄板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。ORR/2O`半径为R的圆盘对O点的转动惯量为211(1)2IMR1(2)3Mmm式中整个圆盘的质量由平行轴定理，半径为R/2的小圆盘对O点的转动惯量为222221()()(3)222RRImm式中小圆盘的质量21(4)3mm总转动惯量2121324IIImRRF2.均匀圆柱体，在水平恒力作用下做纯滚动，下列说法正确的是(A)摩擦力一定不为零，解：设静摩擦力的方向如图示cFfma(B)摩擦力一定与同向，(C)摩擦力一定与反向，(D)摩擦力的方向无法确定，(E)摩擦力的大小一定等于。xFFFFfcFxfRJ212camRR2cRma(2)3FRxfR2Rx0f静摩擦力的方向向后（与设定的方向一致）2Rx0f静摩擦力的方向向前（与设定的方向相反）2Rx0f3.一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.lm解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得NF式中231mlJddddddddtt得3sin2gl由角加速度的定义dsin23dlg代入初始条件积分得)cos1(3lg1sin2mglJl4.已知：匀质杆M子弹m水平速度0v求：从下缘射入不复出解：对M,m系统0M轴外系统角动量守恒2201()3mlmlMlv033mmMlv撞击后瞬间匀质杆的质心速度?cv2clv032(3)mmMv设杆长为l系统动量守恒OMm0v?cvc是否动量一定不守恒？有没有特例？?5.由一根长为l，质量为M的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。若以质量为m，速率为的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射向棒的另一端。OvlmM碰撞时刻，角动量守恒2013mlvJmlvMlmlv03()mvvMl（1）若子弹穿棒而过，速度为，求棒的旋转角速度0以m,M为系统，以O为参考点。（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角碰撞时刻，角动量守恒22013mlvJmlMml（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角棒旋转过程，机械能守恒221111cos1cos222JmvMglmgl033mvMml2203cos132mvMmMmgl222111()222mvmlJ注意：类似的例题由一根长为l，质量为M的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。质量为m、速率为的木块，水平面内碰竖直杆的另一端再返回，木块碰后速度减少一半。求棒的最大旋转角？lo0v0v1）碰撞时刻，角动量守恒2）棒旋转过程，机械能守恒解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合外力矩为0，系统角动量守恒。1J2J12)(212211JJJJCLL0212211JJJJ共同角速度啮合过程机械能损失：EEE06.两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别为1、2，求两飞轮啮合后共同的角速度。啮合过程机械能损失。221222211)(21)2121(JJJJ)(2)(2122121JJJJ7.两个同样重的小孩，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮处？若两个小孩重量不等，情况又如何？解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的轴为参考点，把两个小孩和滑轮看成系统。规定向里为角动量和力矩的正方向。系统的总角动量为v1：左边小孩向上的速度；v2：右边小孩向上的速度；此系统所受外力矩只有两个小孩所受重力矩，二者大小相等，方向相反，彼此抵消，系统角动量守恒。hhm1m212LRmvRmvR设两个小孩起初都不动以后，虽然v1,v2不再为零，但总角动量继续为零（角动量守恒），即v1,v2随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。若两个小孩重量不等，系统所受外力矩系统总角动量仍设起初两个小孩都不动，由角动量定理21)合外（dLMmmgRdt若有轻的升得快10200vv12mm21)合外（MmmgR1122()LmvmvR10200vv12,0dLmmdt112212120,,即mamaaavv12,0dLmmdt112212120,,即mamaaavv有8.一细杆的质量为m，长为l，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。LOlmN解一：Cmg1cos2mglMMJ21cos213mglml3cos2gl由刚体的定轴转动定律ddtddddtdd3cos2gl003cos2gddl3singl3gl0,3/2/2,0gl8.一细杆的质量为m，长为l，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。OlmN解二：Cmg1cos2mglM22001cos22mgllAMddmg力矩由刚体定轴转动的动能定理2313mglmglgJlml考虑杆从水平静止转到铅直位置的过程，角速度从0-ω┴2201122AJJ力矩2122lmgJ212J8.一细杆的质量为m，长为l，一端支以枢轴而能自由旋转，设此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。OlmN解三：Cmg因为在转动过程中，N不作功，重力是保守力，所以系统的机械能守恒。2211()22cEmghmvJ恒量21022lmgJ2313mglmglgJlml选O点为重力势能零点9.一个质量为，长为的均匀细杆。一端固定于水平转轴上，开始使细杆在铅直平面内与铅直方向成角，并以角速度沿顺时针转动。当细杆转到竖直位置时，有一质量的细小油灰团以速度水平迎面飞来，并与细杆上端发生完全非弹性碰撞。碰撞后细杆再次转到与铅直方向成角时角速度为多大？0601mL00v2m0600v0600O201011cos6022LEJmg2211122LEmgJ2113JmL由得12EE21032gL0v0600O解：整个运动过程可分为三个阶段。第一阶段，细杆由初始位置转到竖直位置时，取细杆和地球为一系统，设点为重力势能零点。由于转轴的支持力不做功，所以系统的机械能守恒。则有O第二阶段，细杆在铅直位置与油灰团发生完全非弹性碰撞。取细杆与油灰团为一系统，在碰撞过程中所受的合外力矩为零，所以系统的角动量守恒。设顺时针方向为正方向，于是有212022()JmvLJmL120222112.5sJmvLJmL因为，所以碰撞完毕后两物体沿角速度的方向转动。2010v0600O第三阶段，取细杆、油灰团和地球为一系统，因转轴的支持力不做功，所以系统的机械能守恒222212220023121()221()cos60cos6022LJmLmgmgLLJmLmgmgL1313.1s0v0600O10.质量为m，半径为R的均匀圆柱体沿倾角为θ的粗糙斜面，在离地面为h0处从静止开始无滑下滚（纯滚动）。试求：1)圆柱体下降到高度为h时它的质心速度vc和转动角速度；2）最大静摩擦系数应满足的条件。解:对圆柱体进行受力分析mcvmgrfARh0Nxyh选A为瞬时转动中心，转动惯量为：232JmR转动定理：23sin2mgRmR由A点瞬时速度为零，对于质心有：,ccvRaR0,AcR根据质心运动定理sinrcmgfma解得1sin3rfmg要保证无滑滚动，所需摩擦力f不能大于最大静摩擦力，即cos,11sincos,.33fNmgmgmgtg或圆柱体质心的速度为042()3ccvaxghh解得2sin3cag11.质量为m的小球，以速度v0在水平冰面上滑动，撞在与小球运动方向垂直的一根细木棍的一端，并粘附在木棍上。设木棍的质量为M，长度为l。试求：（1）忽略冰的摩擦，定量地描述小球附在木棍上后，系统的运动情况。（2）刚刚发生碰撞之后，木棍上有一点p是瞬时静止的，问该点在何处？解：棒和球组成的系统为研究对象。碰撞后系统质心作匀速直线运动，同时系统绕质心作匀速转动。（1）系统质心位置c距右端距离()22()ccclMlMlmllMm由动量守恒求质心平动速度vc：00();()ccmvmvMmvvMmcOlMmv0clcvr（2）瞬时静止的一点p在质心的左侧，p点绕质心转动相应瞬时向下线速度恰好等于质心平动速度vc,即cpcv(4)6()cvlmMpcmM由角动量守恒求系统绕质心转动的角速度ω：2220061()122(4)cccvlmmvlmlMlMllmM0()cmvvMm2()cMllMmcvrcOcllMmP12.一质量为M，长度为L的均匀细杆，放在光滑的水平桌面上，可绕通过其中点O的光滑固定竖直轴转动，开始时静止。一质量为m的（mM）子弹以速度v0垂直击中杆的一端，撞击后从杆的一端打下质量也为m的一段（可视为质点），与子弹结合在一起以v0/8的速度沿垂直于杆的方向飞出，如图。求(1)撞击后瞬间杆转动的角速度(2)撞击过程中的机械能损失。v08v0OlmMmv)3(290解：由角动量守恒Jlvmlmv8)2(2121002241121mlMlJ2)3(121lmM（2）损失的机械能v08v0OlmMmv)3(290]21)8(221[2122020JvmmvEk)316273231(2120mMmmv2220222020)3(481)3(24164121lmMvmlmMmvmv13.有两个质量为m的质点，由长度为a的一根轻质硬杆连结在一起，在自由空间二者质心静止，但杆以角速度绕质心转动。杆上的一个质点与第三个质量也是m但静止的质点发生碰撞，结果粘在一起。（1）碰撞前一瞬间三个质点的质心在何处？此质心速度多大？（2）碰撞前一瞬间，这三个质点对它们的质心的总角动量是多少？碰后一瞬间，又是多少？（3）碰撞后，整个系统绕质心转动的角速度多大？mm解：本题应用质心定义和角动量守恒定