IIR数字低通滤波器设计

武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书11滤波器简介对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者是在前者的基础上发展起来的。无源或有源模拟滤波器是分立元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此，数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预定的要求转换成输出数列。武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书22滤波器的原理2.1数字滤波器的工作原理在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图2.1所示。设输入序列为nx，离散或数字滤波器对单位抽样序列n的响应为nh。因n在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连续信号和系统中所起的作用。图2.1数字滤波器原理数字滤波器的序列ny将是这两个序列的离散卷积，即kknxkhny同样，两个序列卷积的z变换等于个自z变换的乘积，即zXzHzY用Tjez代入上式，其中T为抽样周期，则得到TjTjTjeXeHeY式中TjeX和TjeY分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱，而TjeH为单位抽样序列响应nh的频谱。由此可见，输入序列的频谱TjeX经过滤波后，变为TjTjeXeH，按照数字滤波器nh,H(z)zxnxnyzy武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书3TjeX的特点和我们处理信号的目的，选取适当的TjeH使的滤波后的TjTjeXeH符合我们的要求。2.2数字滤波器的基本特性如果利用离散时间系统对数字信号（时间离散、幅度量化的信号）进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为：NiMkkkknxainybny10)()()(系统函数表示:NiiiMkkkzbzazXzYzH101)()()(数字滤波器的特性通常用其频率响应函数)(jeH来描述，包括幅度特性)(jeH和相位特性))(arg(jeH。按信号通过系统时的特性（主要是幅频特性）来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。（1）低通数字滤波器：图2.2.1所示ccjjeHeH0)()(武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书4图2.2.1低通数字滤波器的频谱（2）高通数字滤波器：图2.2.2所示ccjjeHeH0)()(图2.2.2高通数字滤波器的频谱（3）带通数字滤波器：图2.2.3所示0||,0)()(212eHeH1jj图2.2.3带通数字滤波器的频谱（4）带阻数字滤波器：图2.2.4所示|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2πω1-ω1|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π|H(ejω)|ωc-ωc-ππ-2π2π-fs/2-fsfs/2fs-fcfcfπ武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书522100||,)()(1jjeHeH图2.2.4带阻数字滤波器的频谱2.3无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器按系统冲击响应（或差分方程）可以分成无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。(1)FIR滤波器(非递归型):10)()()(Nmmnxmhny10)()(NnnZnhZH(2)IIR滤波器（递归型）NkMkknxbknyanykk10)()()(ω1|H(ejω)|ω2-ω2-ππ-2π2π-ω1武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书6NkkMkkzazbzXzYzHkk101)()()(2.4滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体的有最大通带增益（即通带允许起伏）；最大阻带增益；通带截止频率p；阻带截止频率s。如图2.4所示αdB0dBβdBpsωTjaeH图2.4滤波器的主要技术指标武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书73IIR数字滤波器的设计3.1IIR数字滤波器的设计方法IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式NkkkMrrrnnzazbznhzXzYzH1001)()()()(由于它的脉冲响应序列)(nh是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线性的。IIR滤波器设计方法可分为三种：模拟滤波器变换（经典设计法）、直接设计法、参数模型设计法、最大平滑滤波器设计。3.2IIR滤波器经典设计基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数字滤波器。这就是IIR滤波器设计的经典法。在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器采用下面的主要武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书8步骤：图3.2.1IIR经典法设计步骤第二步完成后，一个达到期望性能指标的模拟滤波器（低通、高通、带通和带阻）已经设计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数)(SH映射成数字滤波器的系统函数)(zH。实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。①脉冲响应不变法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数sHa转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。将传输函数sHa从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为sHa，相应的单位冲激响应是tha，sHa=LT[tha]模拟低通滤波原型频率变换模拟离散化IIR滤波器武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书9LT[.]代表拉氏变换，对tha进行等间隔采样，采样间隔为T，得到nTha，将h(n)=nTha作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于tha。设模拟滤波器sHa只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将sHa用部分分式表示：NiiiassAsH1式中is为sHa的单阶极点。将sHa逆拉氏变换得到tha：)(1tueAthtsNiiai式中u(t)是单位阶跃函数。对tha进行等间隔采样，采样间隔为T,得到：)()(1nTueAnThnhnTsNiiai对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：NiTsizeAzHi111sHa的极点is映射到z平面，其极点变成Tsie，系数iA不变化。下面分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和z平面武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书10之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里我们以采样信号tha作为桥梁，推导其映射关系。设tha的采样信号用thaˆ表示，)()(ˆnTtththnaa对thaˆ进行拉氏变换，得到：snTnastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()]()([)(ˆˆ式中)(nTha是tha在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=)(nTha，因此得到：sTsTezeznnsnTnazHznhenhsH)()()(ˆ上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：sTez我们知道模拟信号tha的傅立叶变换)(jHa和其采样信号thaˆ的傅立叶变换)(ˆjHa和其采样信号thaˆ的傅立叶变换)(ˆjHa之间的关系满足式：武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书11)(1)(ˆskaajkjHTjH将js代入上式，得)(1)(ˆskaajksHTjH由上式得到：)(1)(skaezjksHTzHsT上式表明将模拟信号tha的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ts/2延迟后，再按照映射关系，映射到z平面上，就得到H（z）。②双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T之间，再用sTez转换到z平面上。设Ha（s），s=jΩ，经过非线性频率压缩后用Ha（s1），1s=jΩ1表示，这里用正切变换实现频率压缩：TT15.0tan2式中T仍是采样间隔，当Ω1从-π/T经过0变化到π/T时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到1s平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书12tsTszzTTthTs111125.021再通过sTez转换到z平面上，得到：11112zzTssTsTz22上式称为双线性变换。从s平面映射到1s平面，再从1s平面映射到z平面，其映射情况如图3.2.2所示。由于从s平面到1s平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从1s平面转换到z平面仍然采用标准转换关系Tsez1，1s平面的±π/T之间水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样，Ha（s）因果稳定，转换成的H（z）也是因果稳定的。下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。令jezjs,，有jjeeTj11221tan2T武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书13上式说明，s平面上Ω与平面上的ω成非线性正切关系，如图3.2.3所示。在ω=0附近接近线性关系；当ω增加是，Ω增加得愈来愈快；当ω趋近π时，Ω趋近于∞。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。图3.2.3双线性变换法的频率变换ω与Ω之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如图3.2.4所示。这种非线性影响的实质问题是：如果Ω的刻度是均匀的，则影射到z平面ω的刻度不是均匀ImRez平面jΩσs平面jΩ1σ1s1平面π/T-π/T图3.2.2双线性变换法映射射关系Ω-ππ0武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书14的，而是随ω增加愈来愈密。图3.2.4双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射双线性变换法可由简单的代数公式将Ha（s）直接转换成H（z），这是该变换法的优点。jHajHa000ΩΩωωjeHjaeH000ΩΩωω武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书154DSP仿真系统IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具函数buttord