微积分-旋转体体积

第四节微积分基本公式•一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系0)(1ts)(2ts)(ts上的定积分在度函数内物体经过的路程是速间隔在时间速度函数为设位置函数为],[)(],[),(),(2121tttvtttvts21)(ttdttv上的增量间在区这段路程又是位置函数另一方面],[)(,21ttts)()(12tsts)()()(1221tstsdttvtt所以的原函数。函数是速度，即位置函数注意到)()()()('tvtstvts则数上的原函在区间是猜想：设,],[)()(baxfxFbaaFbFdxxf)()()(导数二、积分上限函数及其上的定积分在考察上连续，在设],[)(],,[],[)(xaxfbaxbaxfxadttf)(个函数，记作上的一是定义在对应值，所以，都得到定积分的一个上每一个对于],[)(],[badttfxbaxa)()()(bxadttfxxa称为积分上限的函数限的函数上连续，则积分上在区间如果函数定理],[)(1baxfxadttfx)()(上具有导数，且在],[ba)()()()('bxaxfdttfdxdxxa处的值。限数等于被积函数在其上即：积分对其上限的导则是增量，且设证),,(),,(baxxxbaxxxadttfxx)()(于是)()(xxxxxaxadttfdttf)()(xaxaxxxdttfdttfdttf)()()(xxxdttf)(]))[((xxxfxf)(（积分中值定理）之间）与在（xxx)(x)(xfyyxxxab0x)(f所以)()()(fxxxxx上连续，在因],[)(baxf,之间与在且xxx,,0xx时当于是)(lim)()(lim00fxxxxxxx)()(limxffx)('lim0xxx而)()()('bxaxfx所以);()(,0,'afaxax可证取若);()(,0,'bfbxbx可证取若故有)()()('bxaxfx上的一个原函数。在就是上连续，则函数在区间如果函数定理],[)()()(],[)(2baxfdttfxbaxfxa分。通过原函数来计算定积即可定积分）之间的联系，了定积分与原函数（不。另一方面揭示原连续在性：连续函数的原函数的存这个定理一方面证明了函数函数都存在任何学基本定理）莱布尼茨公式（微积分三、牛顿，则的任一原函数是上连续，在区间如果函数定理)()(],[)(3xfxFbaxfbaaFbFdxxf)()(((的一个原函数，是因证)()(xfxF又xadttfx)()(所以))()(bxaCxxF(的原函数，也是)(xfCdttfxa)(CCdttfCaaFaa)()()()()()()(aFdttfCdttfbFbaba于是)()()(aFbFdttfba即有公式baaFbFdxxf)()()(积分基本公式。莱布尼茨公式，也叫微叫做牛顿公式可简记为babaxFdxxf)]([)(1021dxx求例解102dxx10331x3131212xdx求例解31312arctan1xxdx)1arctan(3arctan)4(3127,3123的一个原函数是因xx所以,11arctan2的一个原函数是因xx所以1213dxx计算例，的一个原函数是时，当解||ln10xxx2ln2ln1ln||ln11212xdxx所以形的面积。与成的平面图轴所围x上π][0,在sinxy计算正弦曲线4例20coscoscossin00xxdxA解A0xyxysin变上限积分的求导公式()()(())'()xadftdtfxxdx()()()(())()()uaFuftdtuxdddFuxFuuxdxdudx21cos20limtxxedtx例5求型未定式。所以极限为，均为时，分子、分母的极限因解0000xxtxtdtedtecos11cos22又则令,cosxu)'(coscos1cos11cos222xdteduddtedxddtedxdxuutxtxt（复合函数求导法）222coscoscos(sin)(sin)sinuxuxxexexxeeexxxxexdtexxxxxxtx21limsinlim212sinlimlim222cos00cos021cos0所以定积分的换元法dtttfdxxfbatbaxxbaxfba)(')]([)(],[],[],[)()2()(,)()1()(],[)(，则有其值域不越出上具有连续导数，且（或在；满足条件：上连续，函数在区间设函数定理元公式。这个公式叫定积分的换)()()()()(aFbFdxxfxfxFba的一个原函数，则是设证)(')]([)(')()(')]([)(ttftxfdtdxdxdFttFt，有另一方面，令的一个原函数，是所以)(')]([)(ttft因此有)()()(')]([dtttf)]([)]([FF)()(aFbFdtttff(x)dxba)(')]([所以1.()[,][,]()[,]2.tABabfxAB当的值域时，只要在上连续，则定理仍成立。用换元法求定积分时，当积分变量换成新变量后，积分限也要换成新变量的积分限。注：)0(022adxxaa1计算例tdtadxtaxcos,sin则令解2,0,0taxtx时当时当2022022costdtadxxaa所以202)2cos1(2dtta4)2sin21(22202axta:使用换元公式也可以反过来babaxdxfdxxxf)()]([)(')]([)(),(()()(badttfxt205sincos2xdxx计算例205205coscossincosxxdxdxx因解,sin,cosxdxdtxt则设0,2,1,0txtx时当时当61sincos105015205dttdttxdxx所以可这样解：出新变量，如上例也此种方法可以不明显写205205coscossincosxxdxdxx解61cos61206x。量时，积分限就不变更注：当不明显写出新变aaaaadxxfaaxfdxxfdxxfaaxf0)(],[)(2)(2)(],[)(130上连续且为奇函数，则在）若（上连续且为偶函数，则在）若（证明例aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(证，，令中在txdxxfa0)(则得0000)()()()(aaaadxxfdttfdttfdxxfdxxfxfdxxfdxxfdxxfaaaaa000)]()([)()()(于是)(2)()()()1(xfxfxfxf是偶函数，则若aaadxxfdxxf0)(2)(所以0)()()()2(xfxfxf为奇函数，则若aadxxf0)(所以2200004f(x)[0,1],1(sin)(cos).;2(sin)(sin),2fxdxfxdxxfxdxfxdx例若在上连续证明（）（）.cos1sin02dxxxx并由此计算02022200(1)cossinsincossin(sin)(cos)cos(cos)(cos):2txtdtxdxtfxdxftdtxftdtfxdxtx令，注意令更简单022(2)()(sin())02(cos)02(cos).fxxfxdxtxtftdxtft分部积分不可，因为不一定可导要证的结论等价于是奇函数.原命题得证第五节广义积分（无穷积分）一、无穷限的广义积分,],[)(1abaxf上连续，在区间设函数定义如果极限babdxxf)(lim存在，。上的广义积分，记作在无穷区间则称此极限为函数adxxfaxf)(],[)(即babadxxfdxxf)(lim)(发散。不存在，则称广义积分收敛；如果上述极限这时也称广义积分aadxxfdxxf)()(发散。则称广义积分如果上述极限不存在，收敛，且记作存在，则称广义积分类似地，如果极限bbaabbbaadxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)()(lim)()()(lim为无穷积分）。穷限的广义积分（也称统称为无上述收敛，且都收敛，则称广义积分和上连续，如果广义积分在同样，设babbaadxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfxf)(,)(,)()(lim)(lim)()()()()()(),()(000000211xdx计算例解]arctan0[lim][arctanlim1lim002axxdxaaaaa2)2(2]0[arctanlim][arctanlim1lim002bxxdxbbbbb2211102022xdxxdxxdxxy0ab211xy时发散。时收敛，当当证明广义积分例11)0(2ppaxdxapbaxdxxdxpbabablnlimlim1时当证时当1p1111111ppapxpxdxpaapp广义积分收敛。时，时，广义积分发散；当所以，当11pp。简记作注：为了方便，ababxFxF)]([)]([lim244021222220220021123:cossin21(cossin)2sincos11211cos421sin212422nnnIdxxxIdxxxxxdxdxxxI例求证证明后面证明22220122221001()()()122()()()2nnnIfxdxfxdxfxdxIftdtftndxnIfxfxfx利用了的周期性201220021122013cos131tan2[02]tan2Idxdttxttxtxxt证明变量替换：当在，变化时，不是连续的办法：充分利用函数的奇偶性，再作变量替换。221002000011(4)1cos43cos14113cos3cos113cos3cos1223cosIdxtxdxxxdxdxxxdxdxxxtxdxx证明再用偶函数0222002123cos1212211231110lim2arctan2arctan222222adxxdtdttttta◆定积分的元素法复习曲边梯形的面