4.3周期信号与非周期的频谱

第1页■▲第1页■•信号频谱的概念•周期信号频谱的特点•频带宽度§4.3周期信号的频谱第2页■▲一、信号频谱的概念信号的频谱:信号的某种特征量随信号频率变化的关系，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱:是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系.即：An~ω和n~ω的关系分别画在以ω为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n≥0，所以称这种频谱为单边谱。|Fn|~ω和n~ω的关系，称为双边谱。若Fn为实数，也可直接画Fn。第3页■▲第3页■频谱图示（单边）3nA20A1A3AO3nO幅度频谱相位频谱离散谱，谱线曲线或~~nnFA曲线~n第4页■▲第4页■请画出其幅度谱和相位谱。120A00236.251Aπ15.0112Aπ25.02解：化为余弦形式单边频谱图，已知4π2coscos2sin1)(111ttttf4π2cos)π15.0cos(51)(11tttf11A20A2A12O24.211nA12π25.0π15.0O1n第5页■▲双边频谱图4πj24πj2jjjj111111ee21ee22eej211)(tttttttftttttf11112j4πj2j4πjjjee21ee21ej211ej2111)(tnnnF1j22e10Fπ15.0j1e12.1j211Fπ15.0j112.1j211eF4πj2e21F4πj2e21F整理125.0O1112.11212.15.01nF12π25.0π15.0O11π15.012π25.0n第6页■▲二、周期信号频谱的特点举例：f(t)t0T-T…122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnTnnTjnTtjn)2sin(2e122)()2(TnSaTnSaTFn第7页■▲第7页■抽样信号(SamplingSignal)ttSa1ππ2π3Oπ性质①②③④⑤⑥，偶函数ttSaSa1)Sa(lim1)Sa(,00tttt，即3,2,1π,0)Sa(nntt，πdsin,2πdsin0tttttt0)Sa(limtttttππsin)sinc(tttsin)Sa(第8页■▲)()2(TnSaTnSaTFn,n=0,±1，±2，…nFO(3)包络线形状：抽样函数(2)离散谱（谐波性）时取值当nΩω。Tn处，为其最大值在0(1)数），幅度/相位函是复函数（此处为实nF）（5π2)4第一个零点坐标：（2Tπ2π22＝令nn。相位为，，相位为π,000nnFF5T第9页■▲周期信号频谱的特点谱线的结构与波形参数的关系T一定，变小，此时（谱线间隔）不变。过零点离原点更远。一定，T增大，间隔减小，频谱变密。幅度减小。如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱就过渡到非周期信号的连续频谱。(1)谐波(离散)性:谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性:总趋势减小。第10页■▲三、周期信号的功率——Parseval等式nnnnTFAAdttfT2122002||21)2()(1周期信号一般是功率信号，其平均功率为这是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和第11页■▲周期矩形脉冲信号的功率而总功率二者比值181.02423222124232221205FFFFFFFFFPnnnTFttfTP202d)(12.0d)(102TttfTP%5.905PPn次谐波为例，取前以ss,Tτ541201第12页■▲四．频带宽度1.问题提出nFO2Tπ2第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。第13页■▲2．频带宽度在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max的频率区间定义为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：，带宽与脉宽成反比。或1π2fBB语音信号频率大约为300~3400Hz，音乐信号50~15,000Hz，扩音器与扬声器有效带宽约为15~20,000Hz。3．系统的通频带信号的带宽，才能不失真第14页■▲第14页■§4.4非周期信号的频谱•傅里叶变换•常用函数的傅里叶变换第15页■▲一．傅里叶变换)(tf：周期信号非周期信号22jde)(1TTtnnttfTF频谱连续谱，幅度无限小；离散谱1.引出T0再用Fn表示频谱就不合适了，引入频谱密度函数。Tπ2谱线间隔0TFTFFnTnTlim/1lim)(j(单位频率上的频谱）称为频谱密度函数。第16页■▲ttfTFFtnTde)(lim)(jjde)(j21)(jtFtf傅里叶变换式傅里叶反变换式F(jω)称为f(t)的傅里叶变换或频谱密度函数，简称频谱。f(t)称为F(jω)的傅里叶反变换或原函数。2．傅里叶变换变换对第17页■▲也可简记为f(t)←→F(jω)F(jω)一般是复函数，写为F(jω)=|F(jω)|ej(ω)=R(ω)+jX(ω)说明(1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。函数f(t)傅里叶变换存在的充分条件:ttfd)((2)用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf或F(jω)=F[f(t)]f(t)=F–1[F(jω)]第18页■▲二、常用函数的傅里叶变换1.矩形脉冲(门函数）记为gτ(t)10tgτ(t)22jeede)(j2j2j2/2/jtFt)2Sa()2sin(2第19页■▲频谱图1π2fBB或幅度频谱相位频谱频宽：jFπ2Oπ4π2π20π4π2ππjFπ2Oπ4π2第20页■▲2．单边指数函数tfOt1f(t)=e–tε(t)，0j1ej1dee)(j0)j(0jttttF第21页■▲频谱图221jF0j,1j,0FFarctan2π,2π,0,0幅度频谱：相位频谱：jFO1O2π2π第22页■▲3．双边指数函数tfOt1220j0j2j1j1deedee)(jttFttttf(t)=e–|t|，0jFO2第23页■▲4．冲激函数(t)、´(t)1de)()(ttttjjeddde)(')('0jjttttttt推广：nnjt)()()(第24页■▲5．直流信号1有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，(t)等，但傅里叶变换却存在。可构造一函数序列{fα(t)}逼近f(t)，即而fα(t)满足绝对可积条件，且{fα(t)}的傅里叶变换所形成的序列{Fα(j)}是极限收敛的。则可定义f(t)的傅里叶变换F(j)为:)(lim)(tftf)(lim)(jFjF这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换。讨论：第25页■▲推导1←→?构造f(t)=e-t，0←→222)(jF)(lim1)(0tftf所以0,0,02lim)(lim)(2200jFjF又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，1←→2()tfOt1第26页■▲6.符号函数0,10,1)sgn(ttttetet11)sgn(tO不满足绝对可积条件00,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft222jj1j1)(j)(Ftfj22jlim)(jlim)sgn(2200Ft第27页■▲频谱图2je22jj2sgnt是偶函数jF是奇函数O2π2π2)(jFO22j2F0,2π0,2π02arctan第28页■▲7.阶跃函数10tε(t)jtt1)()sgn(2121)(第29页■▲归纳记忆：1.F变换对2.常用函数F变换对：t域ω域ttfFtde)()(jjtFtftde)(j21)(jδ(t)ε(t)j1)(e-tε(t)j1gτ(t)2Sasgn(t)j2e–|t|222112πδ(ω)