2018年天津高考数学(理)试题及答案

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。学科#网答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题考上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：·如果事件A，B互斥，那么()()()PABPAPB.·如果事件A，B相互独立，那么()()()PABPAPB.·棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.·棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R，集合{02}Axx，{1}Bxx，则()RIABð(A){01}xx(B){01}xx(C){12}xx(D){02}xx(2)设变量x，y满足约束条件5,24,1,0,xyxyxyy则目标函数35zxy的最大值为(A)6(B)19(C)21(D)45(3)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为(A)1(B)2(C)3(D)4(4)设xR，则“11||22x”是“31x”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知2logea，ln2b，121log3c，则a，b，c的大小关系为(A)abc(B)bac(C)cba(D)cab(6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数(A)在区间35[,]44上单调递增(B)在区间3[,]4上单调递减(C)在区间53[,]42上单调递增(D)在区间3[,2]2上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为(A)221412xy(B)221124xy(C)22139xy(D)22193xy(8)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD.若点E为边CD上的动点，则uuuruurAEBE的最小值为(A)2116(B)32(C)2516(D)3第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。(9)i是虚数单位，复数67i12i.(10)在51()2xx的展开式中，2x的系数为.(11)已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为.(12)已知圆2220xyx的圆心为C，直线21,2232xtyt(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则ABC△的面积为.(13)已知,abR，且360ab，则128ab的最小值为.(14)已知0a，函数222,0,()22,0.xaxaxfxxaxax若关于x的方程()fxax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在ABC△中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sincos()6bAaB.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和sin(2)AB的值.(16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图，ADBC∥且AD=2BC，ADCD,EGAD∥且EG=AD，CDFG∥且CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MNCDE∥平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.(18)(本小题满分13分)设{}na是等比数列，公比大于0，其前n项和为()nSnN，{}nb是等差数列.已知11a，322aa，435abb，5462abb.（I）求{}na和{}nb的通项公式；（II）设数列{}nS的前n项和为()nTnN，（i）求nT；（ii）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnkknN.(19)(本小题满分14分)设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为53，点A的坐标为(,0)b，且62FBAB.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykxk与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若52sin4AQAOQPQ(O为原点)，求k的值.(20)(本小题满分14分)已知函数()xfxa，()logagxx，其中a1.（I）求函数()()lnhxfxxa的单调区间；（II）若曲线()yfx在点11(,())xfx处的切线与曲线()ygx在点22(,())xgx处的切线平行，证明122lnln()lnaxgxa；（III）证明当1eea时，存在直线l，使l是曲线()yfx的切线，也是曲线()ygx的切线.参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．（1）B（2）C（3）B（4）A（5）D（6）A（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．（9）4–i（10）52（11）112（12）12（13）14（14）(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB，又由πsincos()6bAaB，得πsincos()6aBaB，即πsincos()6BB，可得tan3B．又因为(0π)B，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos7bacacB，故b=7．由πsincos()6bAaB，可得3sin7A．因为ac，故2cos7A．因此43sin22sincos7AAA，21cos22cos17AA．所以，sin(2)sin2coscos2sinABABAB4311333727214．（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）．所以，随机变量X的分布列为X0123P13512351835435随机变量X的数学期望11218412()0123353535357EX．（ii）解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．依题意，可以建立以D为原点，分别以DA，DC，DG的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F（0，1，2），G（0，0，2），M（0，32，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）证明：依题意DC=（0，2，0），DE=（2，0，2）．设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则0000DCDE，，nn即20220yxz，，不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又MN=（1，32，1），可得00MNn，又因为直线MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）解：依题意，可得BC=（–1，0，0），(122)BE，，，CF=（0，–1，2）．设n=（x，y，z）为平面BCE的法向量，则00BCBE，，nn即0220xxyz，，不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．设m=（x，y，z）为平面BCF的法向量，则00BCCF，，mm即020xyz，，不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cosm，n=310||||10mnmn，于是sinm，n=1010．所以，二面角E–BC–F的正弦值为1010．（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得(12)BPh，，．易知，DC=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故22cos5BPDCBPDCBPDCh，由题意，可得225h=sin60°=32，解得h=33∈［0，2］．所以线段DP的长为33.（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（I）解：设等比数列{}na的公比为q.由1321,2,aaa可得220qq.因为0q，可得2q，故12nna.设等差数列{}nb的公差为d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd从而11,1,bd故.nbn所以，数列{}na的通项公式为12nna，数列{}nb的通项公式为.nbn（II）（i）解：由（I），有122112nnnS，故1112(12)(21)22212nnnkknnkkTnnn.（ii）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT+bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnn.（19）本小题主要考