第十一章11.7离散型随机变量的均值与方差

§11.7离散型随机变量的均值与方差数学浙（理）第十一章概率与统计基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝为随机变量X的均值或，它反映了离散型随机变量取值的．(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列．x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn数学期望平均水平1.对均值(或数学期望)的理解基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理(2)方差称D(X)＝∑ni＝1(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的，其算术平方根DX为随机变量X的．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝.(2)D(aX＋b)＝．(a，b为常数)(1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．(2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即X作为随机变量是可变的，而E(X)是不变的，它描述X值取值的平均状态．(3)公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率值分别相乘后相加．由此可知，求出随机变量的数学期望关键在于写出它的分布列．1.对均值(或数学期望)的理解平均偏离程度标准差aE(X)＋ba2D(X)基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习难点正本疑点清源要点梳理3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝____，D(X)＝．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝____，D(X)＝．D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中，由方差定义知，方差是建立在期望这一概念之上的．在E(X)附近，统计中常用DX来描述X的分散程度．2.方差的意义pp(1－p)npnp(1－p)基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345A基础知识·自主学习基础自测20953AA基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差【例1】(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一解析思维启迪探究提高先求出降水量在各范围内的概率，再求对应工期延误天数的概率，列出Y的分布列．离散型随机变量的均值、方差【例1】(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．题型分类·深度剖析题型一解析思维启迪探究提高由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．解(1)由已知条件和概率的加法公式有P(X300)＝0.3，P(300≤X700)＝P(X700)－P(X300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X900)＝P(X900)－P(X700)＝0.9－0.7＝0.2，离散型随机变量的均值、方差P(X≥900)＝1－P(X900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.基础知识题型分类思想方法练出高分【例1】(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．题型分类·深度剖析题型一解析思维启迪探究提高由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X300)＝0.7，离散型随机变量的均值、方差又P(300≤X900)＝P(X900)－P(X300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X900|X≥300)＝P300≤X900PX≥300＝0.60.7＝67.故在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一解析思维启迪探究提高(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算．(2)概率与统计的结合是高考的热点，熟练掌握基础知识，理解二者的联系是解题的关键．离散型随机变量的均值、方差【例1】(2012·湖北)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：降水量XX300300≤X700700≤X900X≥900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9.求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量X至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．题型分类·深度剖析解(1)3名学生选择的选修课互不相同的概率：p1＝A3443＝38；(2)设某一选修课被这3名学生选择的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3.P(ξ＝0)＝3343＝2764，P(ξ＝1)＝C133243＝2764，P(ξ＝2)＝C23343＝964，P(ξ＝3)＝C3343＝164.基础知识题型分类思想方法练出高分变式训练1某中学在高三开设了4门选修课，每个学生必须且只需选修1门选修课．对于该年级的甲、乙、丙3名学生，回答下面的问题：(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)某一选修课被这3名学生选修的人数的数学期望．题型分类·深度剖析所以ξ的分布列为ξ0123P27642764964164数学期望E(ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二二项分布的均值、方差【例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．解析思维启迪探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二投弹一次，X服从两点分布；重复10次，Y服从二项分布．解析思维启迪探究提高二项分布的均值、方差【例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．题型分类·深度剖析题型二解析思维启迪探究提高由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．解(1)随机变量X的分布列为X01P0.20.8因为X服从两点分布，故E(X)＝p＝0.8，D(X)＝p(1－p)＝0.8×0.2＝0.16.二项分布的均值、方差(2)由题意知，命中次数Y服从二项分布，即Y～B(10，0.8)，∴E(Y)＝np＝10×0.8＝8，D(Y)＝np(1－p)＝10×0.8×0.2＝1.6.基础知识题型分类思想方法练出高分【例2】某人投弹命中目标的概率p＝0.8.(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．题型分类·深度剖析题型二若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．解析思维启迪探究提高二项分布的均值、方差基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析变式训练2为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差Dξ为62.(1)求n，p的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析解(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝32，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.ξ的分布列为ξ0123456P164664156420641564664164(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132或P(A)＝1－P(ξ3)＝1－15＋6＋164＝2132.基础知识题型分类思想方法练出高分【例3】现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p(0p1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X，对乙项目每投资10万元，X取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X1、X2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．(1)求X1，X2的概率分布列和均值E(X1)，E(X2)；(2)当E(X1)E(X2)时，求p的取值范围．题型分类·深度剖析题型三均值与方差的应用思维启迪解析探究提高基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三(1)求分布列，应先确定X的取值，再求X的取值对应的概率；(2)