机器人运动学及其数学基础

2017/5/161•串联机器人可以用一个开环关节链来建模•由数个驱动器驱动的转动或移动关节串联而成•一端固定在基座上，另一端是自由的，安装工具（末端执行器），用以操纵物体，或完成各种任务iθnoa•关节的相对运动导致杆件的运动，使末端执行器定位于所需要的方位上•在一般机器人应用问题中，人们感兴趣的是：末端执行器相对于固定参考坐标数的空间几何描述，也就是机器人的运动学问题•机器人的运动学即是研究机器人手臂末端执行器位置和姿态与关节变量空间之间的关系12017/5/162
1955年丹纳维特（Denavit）和哈顿伯格（Hartenberg）提出了一种采用矩阵代数方法解决机器人的运动学问题—D-H方法，其数学基础即是齐次变换•具有直观的几何意义•能表达动力学、计算机视觉和比例变换问题•为以后的比例变换、透视变换等打下基础=1000pppTzyyyxxxzzzyx点和面的齐次坐标2.1.1点的齐次坐标•一般来说，n维空间的齐次坐标表示是一个（n+1）维空间实体。有一个特定的投影附加于n维空间，也可以把它看作一个附加于每个矢量的特定坐标—比例系数。•引入齐次坐标的目的是为了表示几何变换的旋转、平移和缩放kcjbiavvvvv++=[]zyxTwwzyxV==式中i,j,k为x,y,z轴上的单位矢量，a=,b=,c=，w为比例系数wxwywz显然，齐次坐标表达并不是唯一的，随w值的不同而不同。在计算机图学中，w作为通用比例因子，它可取任意正值，但在机器人的运动分析中，总是取w=1。列矩阵一个点矢：32017/5/164
齐次坐标与三维直角坐标的区别•V点在ΣOXYZ坐标系中表示是唯一的（a、b、c）•而在齐次坐标中表示可以是多值的。不同的表示方法代表的V点在空间位置上不变。xyzzzxVo42017/5/165
几个特定意义的齐次坐标：•[000n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数•[1000]T—指向无穷远处的OX轴•[0100]T—指向无穷远处的OY轴•[0010]T—指向无穷远处的OZ轴•[0000]T—没有意义
2个常用的公式：zzyyxxbabababa++=⋅kbabajbabaibababbbaaakjibaxyyxzxxzyzzyzyxzyxvvv)()()(-+-+-==×点乘:叉乘:52017/5/1662.1.2平面的齐次坐标•平面齐次坐标由行矩阵P=[abcd]来表示•当点v=[xyzw]T处于平面P内时，矩阵乘积PV=0，或记为[]0=+++==dwczbyaxwzyxdcbaPV与点矢相仿，平面也没有意义[]T0000[]000062017/5/167
点和平面间的位置关系设一个平行于x、y轴，且在z轴上的坐标为单位距离的平面P可以表示为：或有：PV=[]1100-=P[]2200-=P=v0v0v0点在平面下方点在平面上点在平面上方例如：点V=[102011]T必定处于此平面内，而点V=[0021]T处于平P的上方，点V=[0001]T处于P平面下方，因为：[]0112010101000=-[]0112001100=-[]0-110001-100=72017/5/1682.2旋转矩阵及旋转齐次变换2.2.1旋转矩阵设固定参考坐标系直角坐标为ΣOxyz，动坐标系为ΣO´uvw，研究旋转变换情况。xyzwvuPo(O')①初始位置时，动静坐标系重合，O、O´重合，如图。各轴对应重合，设P点是动坐标系ΣO´uvw中的一点，且固定不变。则P点在ΣO´uvw中可表示为：wwvvuuuvwkPjPiPP++=、、为坐标系ΣO´uvw的单位矢量，则P点在Σoxyz中可表示为：uivjwkzzyyxxxyzkPjPiPP++=xyzuvwPP=82017/5/169②当动坐标系ΣO´uvw绕O点回转时，求P点在固定坐标系Σoxyz中的位置yzxo(O')uvwPPwPvPu图2-4已知：P点在ΣO´uvw中是不变的仍然成立，由于ΣO´uvw回转，则：wwvvuuuvwkPjPiPP++=xwwvvuuxuvwxikPjPiPiP)(P++==ywwvvuuyuvwyjkPjPiPjP)(P++==zwwvvuuzuvwzkkPjPiPkP)(P++==用矩阵表示为:=wvwzvzzwvyywxvxxzyxPPPkkjkikkjjjijkijiiiPPPμμμμy（2-7）92017/5/1610uvwxyzwzvzzwvyywxvxxPRpkkjkikkjjjijkijiii==:Ry则旋转矩阵为：定义μμμ反过来：xyzuvwPRP1-=RRRdet*1=-T1RRRdet=-*是正交矩阵，的行列式，为的伴随矩阵，为RRRR2.2.2旋转齐次变换用齐次坐标变换来表示式（2-7）=110000001wvuzyxPPPRPPP=-1100000011zyxwvuPPPRPPP102017/5/16112.2.3三个基本旋转矩阵和合成旋转矩阵三个基本旋转矩阵),(αxR即动坐标系求的旋转矩阵，也就是求出坐标系中各轴单位矢量在固定坐标系中各轴的投影分量，很容易得到在两个坐标系重合时，有：角，轴转动绕，αμXOvwO∑vwOμ'∑wvkji,,μOxyz∑),(αxR=100010001R112017/5/1612=wzvzzwvyywxvxxkkjkikkjjjijkijiiiμμμαy)R(x,xyzouvwU'V'W'O'图2-5αα-=ααααssin0sincos0001coiiux方向余弦阵122017/5/1613同理：-=ϕϕϕϕϕcos0sin010sin0cos)y,R（=1000cossin0sin-cos)z,Rθθθθθ（-=αααααssin0sincos0001)R(x,co三个基本旋转矩阵:xyzouvwU'W'O'ΦxyzouvwU'W'O'v'θ132017/5/1614
合成旋转矩阵:例1：在动坐标中有一固定点，相对固定参考坐标系做如下运动：①R（x,90°）；②R(z,90°)；③R(y,90°)。求运动后点在固定参考坐标系下的位置。[]TuvwPo1321'=Oxyz∑uvwPo'Oxyz∑解1：用画图的简单方法142017/5/1615解2：用分步计算的方法①R（x,90°）②R（z,90°）③R（y,90°）-==123113211000001001-000001'P=-=12131231100001000001001-0''P-==1312121310000001-00100100'''P（2-14）（2-15）（2-16）152017/5/1616上述计算方法非常繁琐，可以通过一系列计算得到上述结果。将式（2-14）（2-15）（2-16）联写为如下形式：=×11000133wvuzyxPPPRPPPR3x3为二者之间的关系矩阵，我们令：),(),(),RR33αϕθxRzRy（=×定义1：当动坐标系绕固定坐标系各坐标轴顺序有限次转动时，其合成旋转矩阵为各基本旋转矩阵依旋转顺序左乘。注意：旋转矩阵间不可以交换uvwO'∑Oxyz∑162017/5/1617
平移齐次变换矩阵==1000100010001c)b(aTransHcba注意：平移矩阵间可以交换，平移和旋转矩阵间不可以交换zyxoo′w′u′v′abc172017/5/16182.2.4相对变换举例说明：例1：动坐标系∑0′起始位置与固定参考坐标系∑0重合,动坐标系∑0′做如下运动：①R(Z,90º)②R（y,90º）③Trans(4，-3,7)，求合成矩阵解1：用画图的方法：o′zyx74-3ow```u```v```v″u″w″zyxoo(o′)xyzuvwzyxu′w′o(o′)v′182017/5/1619解2：用计算的方法根据定义1，我们有：-==1000701030014100)R(Z,90)90R(y,7),3-,Trans(4Too以上均以固定坐标系多轴为变换基准，因此矩阵左乘。如果我们做如下变换，也可以得到相同的结果：例2：①先平移Trans(4,-3,7)；②绕当前轴转动90º；③绕当前轴转动90º；求合成旋转矩阵。v′w′′（2-20）192017/5/1620解1：用画图的方法zyxo(o′)vwuzyxoo′w′u′v′ozyxo′w″v″u″xyzoo′w```u```v```解2：用计算的方法-==1000701030014100)R(Z,90)90R(y,7),3-,Trans(4Too（2-21）202017/5/1621式（2-20）和式（2-21）无论在形式上，还是在结果上都是一致的。因此我们有如下的结论：动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。结果均为动坐标系在固定坐标中的位姿（位置+姿态）。相对于固定坐标系，轴。轴相当于轴，轴相对于轴，轴相当于ZYXwvμ也就是说，动坐标系绕自身坐标轴做齐次变换，要达到绕固定坐标系相等的结果，就应该用相反的顺序。212017/5/1622右乘的意义：•机器人用到相对变换的时候比较多•例如机械手抓一个杯子，如右图所示，手爪需要转动一个角度才抓的牢，相对于固定坐标系表达太麻烦，可以直接根据手爪的坐标系表示•但也要知道在∑O中的位姿，就用右乘的概念。xyzoH222017/5/16232.2.5绕通过原点的任意轴旋转的齐次变换•有时动坐标系∑O´可能绕过原点O的分量分别为rx、ry、rz的任意单位矢量r转动φ角。•研究这种转动的好处是可用∑O´绕某轴r的一次转动代替绕∑O各坐标轴的数次转动•为推导此旋转矩阵，可作下述5步变换：1.绕X轴转α角，使r轴处于XZ平面内2.绕Y轴转-β角，使r轴与OZ轴重合3.绕OZ轴转动φ角4.绕Y轴转β角5.绕X轴转-α角XYZrxryrzABCDB'Oαβ51243rA'232017/5/1624由上图容易求出：2z2yyrrrsin+=α2z2yzrrrcos+=αxxrrrrOCsin===β2z2y2z2yrrrrrOBC'Bcos+=+==β由定义1和定义2，上述5次旋转的合成旋转矩阵为：-==--ααααββββϕϕϕϕββββαααααβϕβαϕcossin0sin-cos0001cos0sin010sin-0cos1000cossin0sin-coscos0sin-010sin0coscossin0sincos0001RRRRRR,x,y,z,y,x,r（2-25）XYZrxryrzABCDB'Oαβ51243rA'242017/5/1625带入式（2-25），得+---+-