2018年全国高中数学联赛试题与解析B卷

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（B卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．设集合2018{}A，，，，{2|}BaaA．则AB的所有元素之和是_________．2．己知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为l，在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q所构成的这域的面积为_________．3．将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abcdef是奇数数的概率为_________．4．在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，(3,1)n是l的一个法向量，己知数列{}na满足：对任意正整数n，点1(,)nnaa均在l上．若26a．则12345aaaaa的值为_________．5．设，满足tan33，tan56则tan的值为_________．6．设抛物线2:2Cyx的准线与x轴交于点A，过点()10B，作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M，N，则△KMN的面积为7．设()fx是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1f，(2)1f，则不等式组121()2xfx的解集为_________．8．己知复数1z，2z，3z满足1231zzz，1231zzz．其中r是给定实数，则312231zzzzzz的实部是_________．（用含有r的式子表示）．二、解答题：本大题共3小题．满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）己知数列{}na：17a，12,1,2,3,nnnaana，2求满足20184na的最小正整数n．10．（本题满分20分）己知定义在R+上的函数fx为3|log1|,00=4,9xxfxxx设a,b,c是三个互不相同的实数，满足()()()fafbfc，求abc的取值范围．11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A，B与C、D分别是椭圆22221(0)xyabab：的左、右顶点与上、下顶点，设P，Q是上且位于第一象限的两点，满足//OQAP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R．证明：线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形．RABCDOPQMxy2018年全国高中数学联合竞赛加试试题（B卷）一、（本题满分40分）设a,b是实数，函数9()fxaxbx．证明：存在0[1,9]x，使得0()2fx二、（本题满分40分）如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，边AC的上一点D及BC延长线上一点E分满足2ADBCDCCE，以AB为直径的圆与线段DE交于一点F．证明：B，C，F，D四点共圆（答题时请将图画在答卷纸上）三、（本题满分50分）设集合{1,2,,}An，X，Y均为A的非空设空子集（允许X=Y）．X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX，minY求满足maxXminY的有序集合对（X,Y）的数目．四、（本题满分50分）给定整数2a.证明：对任意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数1ka，2ka，，kan均是合数．ABCEDF2018年全国高中数学联合竞赛一试（B卷〉参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档：其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次结分，不得增加其他中间档次．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.设集合A={2,0,1，剖，B={2α｜αεA｝，贝!JAUB的所有元素之和是一一一·答案：31.解：易知B={4,0,2,16｝，故AUB={0,I,2,4,8,16}.AUB的所有元素之和是0+1+2+4+8+16=31.2.己知因锥的顶点为p，底面半径长λ12，高为I.在四锥底面上取一点Q,使得直线PQ与底面所成角不大于45°，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为答案：3作·解：因锥顶点P在底面上的投影即为底面中心，记之为o.由条件知，OP一一＝tanL.OQP三1，即OQ主1，故所求的区域面积为1f·22-?r·l2::3何－OQ3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为α，b,c,d,e,f，则αbc+d矿·是奇数的概率为答案：古解：当。bc+d旷为奇数时，。be,def必为一奇一偶，若αbe为奇数，则。，b,c为1,3,5的拌列，d,e,J为2,4,6的排列，这样有3！×3!=36种情况．由对称性可72721知，满足条件的情况数为36×2=72种．从而所求概率为一＝一一＝一．6!720104.在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n=(3,1）是l的一个法向量．己知数列｛αJ满足：对任意正整数n，点（α叫，a，.，）均在l上．若。2=6，则a1a,aJa4a）的值为答案：－32.解：易失日直线l的方程是3x十y=O.因此对任意正整数n，有3a11+1+a11=0,即G叫＝la，，，故｛αJ是以1为公比的等比数列．于是α3=1a2=2.曲等3比数列的性质可得，α1a2α3句句＝a;=(-2)5=-32.I7rIl作l5.设α，9满足tanIα十一I=-3,tanI(J一一1=5，则tan（α－(3）的值为一一一一·lJJl6J答案：一：“贷1(_ri11-3-54解：由两角差的正切公式可知tanIIα＋一｜一｜β一一川＝＝－，ll)l'6)}1+(-3）×5叶一叶＝？，从而tan川＝叫叫卅＝－�，6.设抛物线C:y2=2x的准线与x轴交于点A，过点B（一l,0）作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M,N，则6.KMN的面积为答案：.！..2解：设直线l与MN的斜率为k，则l:x＝土y-1,MN：工＝土y_.!..k’k’2将l与C联立，得方程y2一－y+2=0，由条件知其判别式为零，如＝士王。2k将MN与C联立，得方程y2卡＋1=0，于是｜…l＝」（yM+yN)2一川＝萨＝2,结合l与MN平行，可知IIIIsC.KMN=s11阳w=ls11削M-SLlBANl=-IABIIY.11-Y,vl＝一一2＝一－22227.设刀功是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间［l,2］上严格递减，IOxl且满足！（作）=1,/(2π）＝0，则不等式组！一一的解集为10三f(x）三l答案：［2作－6,4一作］．解：由f(x）为偶函数及在［l,2］上严格递减知，f(x）在［…2,-1］上严格递增，再结合.f(x）以2为周期可知，［O,I］是f(x）的严格递增区间．注意到/(4一贺）=！（贺－4)＝／（汗）=l,f(2π－6)=/(2时＝0,所以o二二f(x）三1仲！（却一6）三f(x）三／（4－的，而02霄－64－霄＜1,MO原不等式组成立当且仅当xε（2何一6,4一作］．8己知复数Z1，石，与满足lz1I=lz2l=I马l=Llz1+Z2+Z3l=r，其中r是给定实数，则三L＋主十三主的实部是（用含有r的式子表示〉．答案：于解：记W＝三L十三主＋主．由复数模的性质可失I�Z2Z3Z12z,＝一，Z2＝一，Z3=-,Z1Z2Z3因此W=Z1�2＋毛毛＋勾引·于是r2=(z1十Z2+Z3）（王＋三十三）=lz.12十lzJ+lz3l2+w十二＝3+2Rew,解得Rew＝三三2二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出立字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）己知数列｛a，，｝：α，＝7，生土L=a，，十2,n=1,2,3,···.求α满足a.4川的最小正整数n.解：由生土L＝α，，＋2可知G川＋1＝（α，，＋1)2.因此α，2α，，＋l=(a1+1)2时＝82”I=23x2-1,故。”＝23烛’叫一1......................8分显然｛a.｝单调递增．由于a11=23012124036=420,s,a12=2614412喃36=4201&'故满足题目条件的n的最小值是12.………….........16分10.（本题满分20分）己知定义在R＋上的函数f(x）为[pog3x-11，。＜λ三9,/(x)={卢14-..Jx,x9.设α，b,c是三个互不相同的实数，满足／（a）＝烈的＝/(c），求。be的取值范围．解：不妨设α＜bc.由于.f(x）在（0,3］上严格递减，在口，9］上严格递增，在凹，＋∞）上严格递减，且f(3)=0,f(9)=l，故结合图像可知。ε（0，匀，“（3,9),cε（9,+oo),并且！（α）=f(b)=/(c）ε（0,1)......................5分由！（的＝f(b）得1-logJα＝log3b-l,即Iog3a+log3b=2，因此。b=32=9.于是αbe=9c......................10分又0.f(c)=4-.JcL....................15分故cε（9,L6).进而abc=9cε（81,144).所以，abc的取值班围是（81,144)......................20分r注：对任意的rε（81,144），取Co＝一，则C0E(9,16），从而f(c0)E(0,l）.过93点（句，f(Co））作平行于·x抽的直线l，则l与f(x）的图像另有两个交点仰，！（α）），(b,/(b))c其中αε（0，匀，bε（3,9)），满足！（α）=f(b)=f(c），并且ab=9，从而abc=r.11.（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆.yr：二十三＝1（α＞bO）的左、右顶点与上、下顶αDA点．设P,Q是r上且位于第一象限的两点p满足。QIIAP,M是线段AP的中点，射线OM与椭ID圆交于点R.证明：线段。Q,OR,BC能构成一个直角三角形．证明：设点P坐标为（布，Yo）·由于OQI!AP，互P=OP-OA;ORI/OM,而＝i(c5P＋词，阳在实数人μ，使得OQ＝λ（OP-OA),OR=/.t(OP+OA)......................5分此时点Q,R的坐标可分别表示是（λ（Xo＋的，λYo),(µ(xo－的，µyo）.由于点Q,R都在椭圆上，所以入2f马平二十41=u2队�＋41=1.1旷b'I.Ia·bI结合4＋兰＝l知，上式可化为川2＋」｜＝州2一丛l=l，解得I2x:.lI《i。＇b'IaIIα！因此λ2＝一�一，u2＝一」L一......................10分2（α＋xo）’2（α－Xo)1aQ12+IORl2=.2((xo十的2+y�）＋µ，1((xo-a/+yi)＝＿＿＿＿！！＿一（(.ro＋吵2+y�）+＿＿＿＿！！＿一（(.xo一时2十对）2（α＋X0)2（α－xo)一α（a+x0),句号，α（α－Xo)'αy�二一一－22（α＋x0)22(a-x0)__2,ayiI1,1I___2曹αyJ2α…一一一一一…一一一'2lα十句’α－X0J-•2α2-xia2·b2IL－�l＝α2＋α2二x.；“J=az十bi=1sc12从而线段。Q，侃，BC能构成一个直角三角形．．扭．扭．扭．扭．扭．扭．扭．扭．20分说明：2018年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）参考答案及评分标准1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、〈本题满分40分〉设α，b是实数，函数f(x)=ax+b+2..证明：存在X0E[l，坷，使得l.f(xo)I主