(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第15课 函数的周期性课件 文

考纲要求1．掌握周期函数的定义．2．函数的周期性的简单应用．1．周期函数的定义对于函数()fx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx成立，那么函数()fx叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．知识梳理2．周期函数的两个重要性质：①函数()fx的周期为T，则kT（,0kZk）也是()fx的周期；②函数()fx的周期为T，则()(0)fx的周期为T．3．函数周期的三个结论若a、b是非零常数，且ab，①递推式与周期的关系()fx周期()()fxafxb()()fxafx1()()fxafx1()()fxafx1()()1()fxfxafx2a1()()1()fxfxafx4aab2a2a2a②对称性与周期的关系()fx周期关于直线xa及xb对称关于直线xb及(,0)Ma对称关于(,0)Ma及(,0)Nb对称2ab2ab4ab③奇偶性与周期的关系()fx周期奇函数且关于直线xa对称偶函数且关于直线xa对称2a4a1．已知定义在R上的奇函数()fx，满足(2)()fxfx，则(4)f（）A．1B．0C．1D．2基础自测【答案】B【解析】∵()fx为奇函数，∴(0)0f，∵(2)()fxfx，∴(4)(0)0ff．2．若()fx是R上周期为3的奇函数，且(1)1f，(2)fa，则（）A．2aB．2aC．1aD．1a【答案】D【解析】∵(2)(23)(1)(1)1affff．3．（2012惠州调研）已知)(xf是定义在R上的奇函数，且)()4(xfxf，当(0,2)x时，2)(xxf，则)7(f()A．3B．3C．1D．1【答案】A【解析】(7)(142)(1)(1)3ffff．4．设()fx是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]上的图象，则(2011)(2012)ff（）A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】由于()fx是定义在R上的周期为3的周期函数，∴(2011)(2012)ff(67031)(67131)ff(1)(1)ff，而由图象可知(1)1,(1)2ff，∴(2011)(2012)123ff.【例1】已知()fx是定义在R上的奇函数，且函数()yfx的图象关于直线(0)xaa对称．求证：()fx是周期函数．典例剖析考点1求函数的周期证明：∵函数()yfx的图象关于直线(0)xaa对称，∴(2)()fxafx，∵()fx是奇函数，∴()()fxfx，∴(2)()fxafx，∴(4)(2)()fxafxafx，∴()fx是周期函数，周期为4a．【变式】已知()fx是定义在R上的函数，满足1(2)()fxfx，(4)()fxfx．（1）函数()fx是不是周期函数，若是，求出其一个周期；（2）判断()fx的奇偶性．【解析】（1）函数()fx是周期函数．∵1(4)[2(2)]()2fxfxfxfx＋＝＋＋＝-＝，∴函数()fx是周期函数，其一个周期为4．（2）∵()fx的周期为4，∴(4)()fxfx，∵(4)()fxfx，∴()()fxfx-=-，∴函数()fx是奇函数．【例2】（2012济南质检）设定义在R上的偶函数()fx满足(1)()1fxfx,且当1,2x时，()2fxx,则(2012.5)f（）A．32B．32C．12D．12考点2利用函数的周期性求值【答案】C【解析】∵(1)()1fxfx，∴(2)(1)1fxfx∴(2)()fxfx，∴()fx的周期为2∴(2012.5)(100620.5)(0.5)fff．∵()fx是偶函数，∴(0.5)(0.5),ff∴(2012.5)(0.5)(1.5)21.50.5fff．【变式】(2012宝鸡模拟)已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x时，3()fxxx，则函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解析】∵当02x时,3()fxxx，∴当02x时,令()0fx，可得0x或1x．∵()fx是R上最小正周期为2的周期函数，∴(0)(2)(4)(6)0,ffff(1)(3)(5)0,fff∴函数()yfx的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为7个．【例3】设()fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有(2)()fxfx.当[0,2]x]时，2()2fxxx.(1)求证：()fx是周期函数；(2)当[2,4]x]时，求()fx的解析式；(3)计算(0)(1)(2)(2014)ffff.考点3函数的周期性的综合应用【解析】(1)证明∵(2)()fxfx，∴(4)(2)()fxfxfx．∴()fx是周期为4的周期函数．(2)∵[2,4]x，∴[4,2]x，∴4[0,2]x，∴22(4)2(4)(4)68fxxxxx，∵()fx是周期为4的周期函数，∴2(4)()68fxfxxx，∵()fx是定义在R上的奇函数，∴2()()68fxfxxx，即2()68,[2,4]fxxxx．(3)∵(0)0f，(1)1f，(2)0f，(3)1f，∴(0)(1)(2)(3)0ffff．又()fx是周期为4的周期函数，∴(0)(1)(2)(3)ffff(4)(5)(6)(7)ffff(2008)(2009)(2010)(2011)0ffff，∴(0)(1)(2)(2014)ffff(2012)(2013)(2014)fff(0)(1)(2)1fff．【变式】（2012山东高考）定义在R上的函数()fx满足(6)()fxfx．当31x时，2()(2)fxx，当13x时，()fxx．则(1)(2)(2012)fff（）A．335B．338C．1678D．2012【答案】B【解析】∵(3)1f，(2)0f，(1)1f，(0)0f，1)1(f，2)2(f，(3)1f，(4)0f，(5)1f，(6)0f，∴(1)(2)(6)1210101fff，∵)()6(xfxf，∴()fx的周期为6，∴(1)(2)(2012)fff(1)(2)33513353338ff．1．要善于去发现某些函数具有周期这一性质，这样才能使计算简单化．2．函数的周期性的内容重点分三类：①函数关于两点对称的，周期为两点间距离的2倍，②函数关于两线对称的，周期为两线间距离的2倍，③函数关于一点一线对称的，周期为点线间距离的4倍．归纳反思