柯西中值定理

返回后页前页§2柯西中值定理和不定式极限一、柯西中值定理柯西中值定理是比拉格朗日定理更一定式极限的问题.般的中值定理，本节用它来解决求不二、不定式极限返回返回后页前页定理6.5(柯西中值定理)设函数,在区间)(xf)(xg],[ba上满足:(i)f(x),g(x)在闭区间[a,b]上连续;(iii);0)()(22xgxf(iv).)()(bgag则在开区间内必定(至少)存在一点,使得),(ba一、柯西中值定理(ii)f(x),g(x)在开区间(a,b)上可导;返回后页前页()()().()()()ffbfaggbga几何意义首先将f,g这两个函数视为以x为参数的方程,)(xgu.)(xfv它在O-uv平面上表示一段曲线.由拉格朗日定理恰好等于曲线端点弦AB的斜率(见下图):ddxvu的几何意义,存在一点(对应于参数)的导数返回后页前页.)()()()(agbgafbfkAB))(,)((fgP))(,)((bfbgB((),())AgafaOuv返回后页前页证作辅助函数)).()(()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF显然,满足罗尔定理的条件,所以存在点)(xF),,(ba使得,即0)(F.0)()()()()()(gagbgafbff()0(()(iii)),gf因为否则也为零,与条件矛盾.)()()()()()(agbgafbfgf从而返回后页前页例1设函数f在区间[a,b](a0)上连续,在(a,b).ln)()()(abfafbf证设,显然f(x),g(x)在[a,b]上满足xxgln)(柯西中值定理的条件,于是存在,使得),(ba,1)(lnln)()(fabafbf变形后即得所需的等式.),(ba上可导,则存在,使得返回后页前页在极限的四则运算中,往往遇到分子,分母均为无01.0型不定式极限二、不定式极限究这类极限,这种方法统称为洛必达法则.称为不定式极限.现在我们将用柯西中值定理来研比较复杂，各种结果均会发生.我们将这类极限统穷小量(无穷大量)的表达式.这种表达式的极限返回后页前页定理6.6满足：和若函数gf000(i)lim()lim();xxxxfxgx00(ii)()xUx在点的某空心邻域内两者均可导，0();gx且0()(iii)lim,.()xxfxAAgx可以为实数，则00()()limlim.()()xxxxfxfxAgxgx证000()(),,fxgxfg我们补充定义所以返回后页前页],[),(.000xxxUxx则在区间任取连续在点有上应用柯西中值定理，)],[(0xx000()()()()(.()()()()fxfxfxfxxgxgxgxg介于与之间)000()()()limlimlim.()()()xxxxxxfxffxAgxggx注，，改为中的将定理0001xxxxxx00,,令故xxx根据归结原理返回后页前页只要修正相应的邻域，的情形,,xx结论同样成立.例１π41tanlim.sin4求xxx解00.容易验证：这是一个型不定式2ππ441tansec21limlim.sin44cos442xxxxxx000()lim,()xxfxgx如果仍是型不定式极限只要满足洛返回后页前页例2.)1ln()21(elim2210xxxx求解2201ln()~,xxx因为当时，所以11222200e(12)e(12)limlimln(1)xxxxxxxx132200e(12)e(12)limlim1.22xxxxxxx0()lim()xxfxgx考察必达法则的条件,可再用该法则.存在性.返回后页前页这里在用洛必达法则前，使用了等价无穷小量的代换，其目的就是使得计算更简洁些.例301lim.e求xxx解可直接利用洛必达型不定式极限这显然是,00法则.但若作适当变换,在计算上会显得更简洁些.于是时有当令,00,txxt0001111limlimlim.eeettxxttxt返回后页前页例410(1)elim.xxxx求解1100(1)(1)elimlim1xxxxxxx120ln(1)1lim(1)xxxxxxx20(1)ln(1)elimxxxxx01ln(1)1eelim.22xxx返回后页前页2.型不定式极限定理6.7满足：和若函数gf00(i)lim()lim()xxxxfxgx；00(ii)()xUx在点的某右邻域内二者均可导，0();gx且0()(iii)lim,,.()xxfxAAgx可以为实数则00()()limlim.()()xxxxfxfxAgxgx返回后页前页证100.(),AxUx设为实数对于任意的，01,xxxx满足不等式的每一个(),()fxAgx使由柯西中值定理，存在,,1xx11()()().()()()fxfxfgxgxg从而有11()()(),(1)()()()fxfxfAAgxgxg返回后页前页另一方面，111111111()()()()()()().()()()()()()()gxfxfxfxfxfxgxfxgxgxgxgxgxfx上式的右边的第一个因子有界;第二个因子对固定100,,xxx的是当时的无穷小量所以,,0,)1(100时当存在正数式由xxxx,01有时当,100xxx返回后页前页00112()(),xxx综合和对一切满足不等式(),()fxAgx这就证明了0()lim.()xxfxAgx,,或，若请大家想一想A应该如何证明？的x有1122()()(),()()()()fxfxfxgxgxgx返回后页前页注000xxxxxx这里的可以用，，件要作相应的改变.例5.lnlimxxx求解.型不定式这是一个1lnlimlim0.1xxxxx.xx，来替换当然定理的条,x返回后页前页例6.elim3xxx求解.6elim6elim3elimelim23xxxxxxxxxxx例7.sin2sin2limxxxxx求极限解,.如果用洛必达法则型不定式这是一个22322sincoslimlim.()sincosxxxxxxxx22coslim,cosxxx而极限不存在但是原极限返回后页前页.1sin2sin2limsin2sin2limxxxxxxxxxx(3)式不成立.这就说明:limlim.xxfxfxgxgx不存在时,不能推出不存在我们再举一例:例8.2arctanarctanlimxxAx求极限解ππlimarctan,limarctan2,22xxxx因为返回后页前页所以A=1.若错误使用洛必达法则：22arctan114limlim2,arctan212xxxxxx这就产生了错误的结果.这说明:在使用洛必达法则前，必须首先要判别它究竟是否是0.0或型3.其他类型的不定式极限00010,不定式极限还有，，，，等类型它0.0们一般均可化为型或者型.下面我们举例加以说明返回后页前页解1lnln,xxxx注意到则00002111lnlimlnlimlimlim()0.xxxxxxxxxxx但若采用不同的转化方式:2000021limlnlimlimlimln11lnlnxxxxxxxxxxxx很明显,这样下去将越来越复杂,难以求出结果.例90limln.xxx求0()型,返回后页前页解221lncos20lncos0(cos)e,lim.0xxxxxxx而是型由于,21cos2sinlimcoslnlim020xxxxxxx因此21120lim(cos)e.xxx例10210lim(cos).xxx求(1)型返回后页前页解πlnarctan2limkxxx121limπarctan12xkxkxx111limπarctan2xkkxx例11102πlimarctan().kxxxk求00()型返回后页前页xxkkxarctan2lim11,0lim111lim122kxkxxkkxxkk所以，原式=e0=1.例12201lim2cot.1cosxxx求()型返回后页前页解xxx20cot2cos11limxxxxxx23220sincos1cos2cos2sinlim43220cos2cos2sinlim2xxxxx3204cossin6cossin6lim2xxxxxxxxxx220sincos2cos11lim返回后页前页例13(),0().0,0gxxxfxx设(0)(0)0,(0)3,(0).gggf已知求解000()()(0)lim()limlim0xxxgxgxgfxxx因为(0)0,g()0.fxx所以在处连续.23cos1lim320xxx220coscoslim3xxxx返回后页前页00()1()(0)limlim220xxgxgxgxx2000()(0)()()(0)limlimlim0xxxfxffxgxfxxx例14()[,)fxa设在上连续可微，lim(()()).lim().xxfxfxAfxA求证证先设A0.因为13(0).22g返回后页前页根据洛必达法则，有e()lim()limlim[()()].exxxxxfxfxfxfxA同样可证A0的情形.0()()1,AFxfx对于的情形，可设则有lim(e())lime()(),xxxxfxfxfxlime().xxfx所以由本章第１节例４，得返回后页前页lim()0.xfx即定理6.7中的条件)(lim0xfxx是可以去掉的,为什么？由上面的讨论，得到lim()1,xFxlim()()1.xFxFx复习思考题