第五章-5.2 线性微分方程组的一般理论

1§5.2线性微分方程组的一般理论'()()(5.14)Attxxf讨论线性微分方程组的一般理论，主要研究它的解的结构。0)(tf如果，则（5.14）称为非齐线性的。0)(tf如果，则（5.14）称为齐线性的，即称为齐线性的，通常（5.15）称为对应于（5.14)的齐线性方程组。'()(5.15)Atxx2主要讨论齐线性微分方程组（5.15）所有解的集合的代数结构。前提：A(t)在区间上是连续的。btakCCC,,,21定理2（叠加原理）如果是（5.15）的解，则它们的线性组合也是（5.15）的解，这里是任意常数。1122()()()kkCtCtCtxxx12(),(),,()ktttxxx分析(5.15)的所有解构成一个线性空间,那么这个空间的维数是多少？于是需要考虑类似的概念：向量函数组线性相关(无关)性,以及向量函数组的伏朗斯基行列式。5.2.1齐线性方程的解性质和结构1.解的性质齐次线性微分方程组一定有零解。32.向量函数组的相关性1122()()()0kkctctctxxx考虑定义在区间上的向量函数如果存在不全为零的常数，使得恒等式bta12(),(),,()ktttxxxkccc,,,21对于所有都成立，则称这些向量函数是线性相关的，否则就称这些向量函数在所给区间上线性无关的。],[bat4证明:要使112233()()()ctctctxxx2331230010ttttteeccecee0例1证明:函数向量组1()0,ttetex320(),1ttex在(-,+)上线性无关.233(),0ttetex52133230000,100ttttteeceectec则需因为2330010ttttteeeee42te0,所以1230,ccc123(),(),()tttxxx故线性无关.t63、向量函数组线性相关性判断12111212122212[(),(),,()]()()()()()()()()()()nnnnnnnWtttWtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxxx定义在区间上的n个n维向量函数所作成的如下行列式称为朗斯基行列式，即12(),(),,()ntttxxx],[bat其中,12()()()kkknkxtxtxtx7定理312(),(),(),()0,.ntttatbWtatbxxx如果向量函数在上线性相关则它们的Wronsky行列式证明:12(),(),(),ntttatbxxx因在上线性相关12,,,nccc从而存在不全为零的常数,使1122()()()0,nnctctctatbxxxW(t)1,2,ncc...,c将其看成是以为未知量的齐次线性代数方程组,为方程组的系数行列式。由齐次线性代数方程组的理论知道，要让其有非零解，系数行列式应为零，()0,.Wtatb故8注：定理3的逆命题不成立12()0(),(),()nWttttatbxxxWronsky行列式仅仅是向量函数在上线性相关的必要条件。反例：212(),()00ttttxx2()0,00ttWt显然满足12(),()ttxx但我们容易证明线性无关。9线性相关线性无关()0.[,]Wttab00()0.[,]Wttab结论：12(),,,()nttxxx一般的向量函数组线性相关性判定准则：而我们关心的是线性微分方程组的解函数向量组的线性相关性。10定理412(),(),(),()0,.ntttWtatbxxx如果(5.15)的解线性无关则它们Wronsky的行列式证明:00[,],()0,tabWt若有使得“反证法”则10200(),(),()ntttxxx数值向量组线性相关,12,,,nccc从而存在不全为零的常数,使得1102200()()()0,(5.17)nnctctctxxx现在考虑函数向量1122()()()()nntctctctxxxx4、解函数向量组的线性相关性判定11由定理2知,()(5.15),tx是的解由(5.17)知,()tx该解满足初始条件0()0tx因此,由解的存在唯一性定理知,()0xt即有1122()()()0,nnctctctatbxxx12(),(),()ntttatbxxx故解组在上线性相关,矛盾而齐次线性微分方程组的零解显然也满足该初值条件。结论：解组相关性的判定准则12(),(),()ntttxxx(5.15)n个解线性相关0()0,.()0WtatbWt12(),(),()ntttxxx(5.15)n个解线性无关0()0,.()0WtatbWt12(),(),()nntttxxx即(5.15)个解所构成的Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.13(4)定理5(5.15)一定存在n个线性无关的解.证明:0[,],tab任取由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足如下初始条件10200100010(),(),,()001ntttxxx12(),(),();[,]nttttabxxx的一组解且010200()[(),(),()]10nWtWxtxtxt12(),(),()ntttatbxxx故在上线性无关.14定理6（通解结构定理）如果是方程组（5.15）的个线性无关的解，则方程组（5.15）的任一解均可表为其中是相应的确定常数。12(),(),,()ntttxxx1122()()()nnctctctxxxxn12,,,nccc()(5.15)xt证明：设是的任一解,0,,tab任取12(),(),()5)ntttnxxx因是(5.1个线性无关的解,10200(),(),()ntttxxx从而,数值向量组也线性无关,15即它们构成n维线性空间的基,0(),tx故对向量...,12nc,c,,c一定存在唯一确定常数满足01102200()()()(),(5.20)nntctctctxxxx现在用此组常数构造函数向量1122()()()()nntctctctxxxx由解的叠加原理知，()(5.15),tx是的解由(5.20)知，()tx该解满足初始条件00()()ttxx因此，由解的存在唯一性定理，应有()()ttxx即1122()()()()nntctctctxxxx16推论1(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组:12(),(),()ntttxxx(5.15)的个线性无关解n为(5.15)的一个基本解组.注1:(5.15)的基本解组不唯一.注2:(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.175、解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义(5.15),nn如果一个矩阵的每一列都是的解则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.[,](5.15),ab如果该矩阵的列在是的线性无关解组则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵----以基本解组为列构成的矩阵.12(),(),()()ntttt以(5.15)基本解组为列构成的矩阵,用表示,即12()[(),(),()].ntttt18*(2)定理1(5.15)(),()(5.15),tt一定存在一个基解矩阵如果是的任一解那么()(),(5.22)ttC.Cn这里是确定的维向量*(3)定理2()t(5.15)的解矩阵是基解矩阵充要条件是:00det()0(),,[,],det()0,det()0,.tatbtabttatb而且如果对某一则由定理5,6得由定理3,4得19注1:行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵2101000ttt注2:nn矩阵(t)是(5.15)基解矩阵充要条件是:'()()(),;tAttatb00[,]det()0.tabt且使20例3验证()0tttetete是方程组1211,01xx'xxx其中的基解矩阵.解:由于'(1)()0ttteette11010tttetee1101()t故(t)是解矩阵,又由于det()0tttetete20te()t所以是基解矩阵,21*推论1atbCnnCatb如果(t)是(5.15)在基解矩阵,是非奇异常数矩阵,那么(t)也是在区间上的基解矩阵.证明：按定义验证即可.这说明基解矩阵不是唯一的．22推论2*在区间上是的两个基解矩阵，那么,存在一个非奇异常数矩阵，使得在区间上，)(t.)()(CttbtabtaCnn)(txtAx)('这说明基解矩阵的相似性．构造方法证明：构造常数矩阵C.23例4验证33()tttteetee是方程组21,12'xx基解矩阵,并求其通解.解:(),()(),ttt12分别用表示矩阵的第一二列,即33(),(),tttteettee1224'1()ttete2112ttee2112()t13'233()3ttete211233ttee2112()t2(),(),tt12因此是方程组的解(),t即为解矩阵又由于33det()tttteetee42te0故(t)是基解矩阵,其通解为()tCx3132ttttceecee312312ttttcececece25二、非齐次线性微分方程组()(),(5.14)dAttdtxxf(),()Atatbnnftatbn这里是上已知的连续矩阵是上已知维连续列向量.1非齐线性微分方程组解的性质性质1()(5.14),()(5.14)(5.15),()()(5.14).tttt如果是的解而是对应的齐线性方程组的解则是的解性质2(),()(5.14),()-()(5.15).tttt如果是的两个解则是的解(),(5.15)dxAtxdt26性质3121()()()();()()()()mjjjtttttAttt'ffffxxxfxxmj设且是方程组=的解,则=是方程组(5.14)的解.2通解结构定理定理7()(5.14),(5.14)()ttt设()是(5.15)的基解矩阵,而是的某一解则的任一解可表为()()()ttCt这里C是确定的常数列向量.27注释:由定理7得知，为了寻求（5.14)的任一解，只要知道（5.14)的一个解和它对应的齐线性微分方程组（5.15)的基解矩阵。那么,如何求它的一个特解？同样我们可以应用前面介绍的常数变易方法求（5.14)的一个特解。283常数变易公式()(5.15)t设是的基解矩阵,则(5.15)的通解为xttC()=(),其中C是任意的常数列向量,下面寻求(5.14)形如()(),(5.24)ttCt()=的解,把(5.24)代入(5.14),得''()()()()()()()()tCttCtAttCtft'()()(),tAtt()(5.15)t由于是的基解矩阵