c 第二章 概率和概率分布

第二章概率和概率分布Probabilityandprobabilitydistribution本章内容第一节概率的基本概念第二节随机变量、概率分布及总体特征数一、有关的概念CertainImpossible0.501第一节概率的基本概念必然事件不可能事件随机事件出现概率为1的事件。P=1出现概率为0到1的事件。0P1出现概率为0的事件。P=0试验（trial）：一组综合条件的实现。小概率事件：事件发生的概率P≤0.05（5％）或P≤0.01（1％）的事件，习惯上称为小概率事件。统计学上认为在一次试验中小概率事件是几乎不可能发生。随机试验（randomtrial）：在试验中，做完一次观测并不能准确得知下一次结果的试验。基本事件（elementaryevent）：试验的每一最基本的结果，用小写拉丁字母a,b,……表示。事件（event）：基本事件的集合，用大写拉丁字母A,B,……表示。二、事件的几种基本运算：⑴事件的和A、B两任意事件至少发生一个A∪B＝A发生，或B发生，或A与B都发生⑵事件的交A、B两任意事件同时发生A∩B＝A和B同时发生⑶互不相容事件A、B两事件的交是不可能事件A∪B＝A＋B三、概率的统计定义1、频率（frequency）：实际发生率称为频率。设在相同条件下，某随机试验共进行k次，事件A出现了l次，则k次随机试验中事件A出现的频率为l/k。2、概率（probability）：随机事件发生的可能性大小。设在相同条件下，某随机试验共进行k次，事件A出现l次；随着k的增大，频率l/k将围绕某一确定的常数p做平均幅度愈来愈小的波动，p即为事件A的概率。用P(A)表示，取值[0,1]。表2-1不同样本含量的抽样试验抽样号k=20ll/kk=200ll/kk=2000ll/k1234567891014145762440.0500.2000.0500.2000.2500.3500.3000.1000.2000.200323138494037402947530.1600.1550.1900.2450.2000.1850.2000.1450.2350.2654034144093824164133884234103950.2020.2070.2050.1910.2080.2070.1940.2120.2050.1930.050～0.3500.145～0.2650.191～0.2123、频率与概率的关系⑴频率是事件在试验结果中出现的实际发生率；概率是事件在试验结果中出现可能性大小的定量计量，是事件固有的属性。⑵频率总是围绕概率上下波动。⑶样本含量越大，频率波动幅度越小，频率越接近概率。四、概率的古典定义2、概率（古典定义）：在满足古典概型的情况下，事件A中所包含的基本事件数（m）与基本事件总数（n）的比值m/n就是事件A的概率。1、古典概型：满足①随机试验的全部可能的结果（基本事件数）是有限的；②各基本事件间是互不相容且等可能的，对于这类随机现象的概率类型，称为古典概型。P（A）=m/n在有两个孩子的家庭中，两个孩子①都是男孩②第一个是男孩③两个孩子中至少有一个是男孩的概率分别是多少。②A2=第一个是男孩m=2P(A2)=2/4=0.50【例2.1】解：两个孩子性别组成共有四种类型，即男男、男女、女男、女女，n=4①A1=两个男孩m=1P(A1)=1/4=0.25③A3=两个孩子中至少有一个是男孩m=3P(A3)=3/4=0.75五、概率的一般运算（基于概率的古典定义）（一）概率加法法则A、B两事件和的概率：P(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)A、B是互不相容事件，它们和的概率：P(A∪B)＝P(A)+P(B)有限个事件两两互不相容，它们和的概率：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)+P(A2)+…+P(An)事件A的概率和它的对立事件A的概率的关系：P(A)＝1-P(A)（二）条件概率(conditionalprobability)在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率，记为P(A︱B)。P(A︱B)=P(AB)/P(B)把没有附加条件时的概率，称为无条件概率。（三）概率乘法法则P(AB)=P(B)P(A︱B)或P(AB)=P(A)P(B︱A)两事件交的概率等于其中一事件(其概率必须不为0)的概率乘以另一事件在已知前一事件发生条件下的条件概率。（四）独立事件(independentevent)P(B︱A)=P(B)或P(A︱B)=P(A)若事件A的发生并不影响事件B发生的概率，称A和B是独立事件。对于独立事件，概率乘法公式为：P(AB)=P(A)P(B)【例2.2】施用甲、乙两种不同药物杀灭螟虫，结果见下表，现计算以下各概率：①从200只虫中任取一只，这只是死虫的概率；②从200只虫中任取一只，这只接受了甲药物的概率；③接受甲药物且死亡的概率；④死亡者中接受甲药物的条件概率。②P(B)=120/200=0.60①P(A)=160/200=0.80③P(BA)=96/200=0.48=P(B)P(A|B)=120/200×96/120=0.48解：④P(B|A)=96/160=0.60=P(AB)/P(A)=0.48/0.80=0.60死亡(A)存活(A)总计甲(B)9624120乙(B)641680总计16040200（五）贝叶斯定理(Bayes’theorem)设事件B能且只能与互不相容事件A1，A2，…Ai，…Ak之一同时发生，那么，在事件B已发生的条件下，Ai发生的概率kjjjiiiABPAPABPAPBAP1)|()()|()()|(【例2.3】假定在中年男性人群中，肥胖者占20％，标准体重的占50％，低体重的占30％。这三类人群中出现动脉硬化的概率分别为30％、10％和1％。从这个假设的中年男性群体中随机抽出一人，他恰恰是动脉硬化的患者。问这个人从肥胖组、标准体重和低体重组中抽取的概率各是多少？则P(A1)=0.20,P(A2)=0.50,P(A3)=0.30解：P(B|A1)=0.30,P(B|A2)=0.10,P(B|A3)=0.01用B表示抽到动脉硬化患者的事件。用A1、A2、A3分别表示抽到肥胖者、标准体重者和低体重者的事件。531.011360113.006.001.030.010.050.030.020.030.020.0)|()()|()()|(31111jjjABPAPABPAPBAP442.011350)|(2BAP027.01133)|(3BAP第二节随机变量、概率分布及总体特征数一、随机变量每次抛两枚硬币，记录正面数结果。结果可记录为：随机变量(randomvariable)：在随机试验中被测定的量，以大写字母如X、Y、U等表示。硬币1正面朝上，硬币2正面朝上；2个正面硬币1正面朝上，硬币2反面朝上；1个正面硬币1反面朝上，硬币2正面朝上；1个正面硬币1反面朝上，硬币2反面朝上；0个正面正面数是一随机变量。观测值(observation)：随机变量所取得的值，以小写字母如xi、yi等表示，下标i表示第i次观测值。1、随机变量概念2、随机变量类型⑴离散型随机变量（discreterandomvariable）：随机变量取得的数值为有限个或可数无穷个孤立的数值。例如抛两枚硬币，正面数的可能取值为0、1、2。⑵连续型随机变量（continousrandomvariable)：随机变量可取某一区间内的任何数值。例如身高、体重、血清胆固醇含量依据随机变量取值的特点分为：二、概率分布probabilitydistribution概率分布：把随机变量Y一切可能值yi以及取得这些值的对应概率P(Y=yi)以表格、图形或公式的形式排列表示出来，称为概率分布。分为离散型概率分布和连续型概率分布两类。1、基本概念⑴离散型概率分布概率函数：把离散型随机变量Y所取得值y的概率P(Y=y)写成y的函数p(y)，这样的函数称为随机变量Y的概率函数。分布函数(累积分布函数)：随机变量取得小于等于某一可能值（y0）的概率。)()(yYPyp)()()(000yYPypyFyyii2.概率分布类型⑵连续型概率分布分布函数(累积分布函数)：是指随机变量Y取得小于y0的值的概率。密度函数：连续型随机变量Y的值落在区间长度趋向于0的区间内的概率的极限，表示随机变量Y在点y处的概率密度，用f(y)表示，称f(y)为随机变量Y的密度函数。分布曲线：概率密度的图形。yyyYyPyfy)()(lim01)(,0)(d)()()(000FFyyfyYPyFy3.概率分布与频率分布的关系频率分布是实际发生的统计分布或经验分布，对应于各个样本；对于不同的频率分布，都有相应的理论分布。概率分布是理论分布或总体分布，是频率分布的理想化数学模型，对应于总体。三、总体特征数统计量(statistic)：由样本数据计算出来的，表示样本特征的量称为统计量，用拉丁字母表示，y：样本平均数；s2：样本方差；s:样本标准差。参数（parameter）：表示总体特征的恒定的量，称为参数，用希腊字母表示，m：数学期望（理论平均数，总体平均数）；σ2：总体方差；σ：总体标准差。总体特征数：定量描述总体概率分布特征的量。主要包括随机变量的数学期望、方差。总体平均数：随机变量的各个取值与其相应的概率的乘积之和yyypYE)()(m总体方差：随机变量的各个取值与总体均数之差的平方，与其相应的概率的乘积之和22)()(myypy)(4.10.220.05.150.00.120.05.010.0)()(41kgyypYEiiim【例2.4】用一种复合饲料饲养动物，每天增重的kg数及其相应的概率如下，问每天增重的数学期望和方差是多少？解：每天增重yi/kg概率0.50.101.00.201.50.502.00.2019.0)4.10.2(20.0)4.15.1(50.0)4.10.1(20.0)4.15.0(10.0))((22224122iiiyypm作业：习题第13题。