第3章线性电路的一般分析方法

第3章线性电路的一般分析方法和基本定理第3章线性电路的一般分析方法3.1支路电流法3.2网孔电流法3.3节点电位(电压)法3.4叠加定理3.5代文宁定理3.6最大功率传输定理小结习题3第3章线性电路的一般分析方法和基本定理3.1支路电流法电路的基石是支路，支路电流与支路电压是电路分析与求解的基本对象。直接以支路电流为变量，分别对节点和网孔列写KCL方程和KVL方程而进行求解的方法，即为支路电流法。下面通过实例来说明这种方法。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理图3.1复杂电路举例I1aR1R2I2I5R5＋－US3R3I3I4cR4R6I6db＋－US2＋－US1ⅠⅡⅢ第3章线性电路的一般分析方法和基本定理图3.1为一复杂线性电阻电路，假定各电阻和电源电压值均为已知，求各支路电流。该电路共有四个节点，六条支路，三个网孔，七个回路。六条支路电流的参考方向如图中所示。根据KCL，可对四个节点列出四个KCL方程：0000431654632521IIIIIIIIIIII节点a:节点b：节点c：节点d：第3章线性电路的一般分析方法和基本定理从这些方程很容易发现，任何一个方程都可以由其余三个方程相加并每次改变符号后得到，因而它们并不是相互独立的，但任何三个方程都是彼此独立的。故可得出结论：对具有四个节点的电路只能列出三个独立的KCL方程，因此只能有三个独立节点，余下的一个节点称为非独立节点。至于哪些点作独立节点原则上是任意的。例如在图３.１所示电路中，若选节点ａ、ｂ、ｃ为独立节点，则式(3-1)的前三项即为独立的KCL方程。推而广之，对具有ｎ个节点的电路，只能有且一定有ｎ=-１个独立节点，也只能且一定能列出ｎ-１个独立的KCL方程。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理为了求解出六个支路电流，显然三个方程是不行的，还须再补充三个独立方程。借助于KVL就可建立所需的方程。既然要确保补充方程的独立性，因此每次选择的回路中至少应包含一条以前没有被用过的新支路。在此前提下，选用哪些回路是任意的。实践证明：对于平面电路列写的KVL独立方程的个数正好等于网孔的个数。据此，只要对三个网孔列出KVL方程即可。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理按顺时针方向绕行并结合欧姆定律可得网孔Ⅰ：SI445511UIRIRIR网孔Ⅱ：SI665522UIRIRIR网孔Ⅲ：SI664433UIRIRIR(3-2)第3章线性电路的一般分析方法和基本定理除此三个方程以外的其它KVL方程，则不难证实不再是独立的。例如选取最大回路列写KVL方程，有R１I1-R2I2-R３I３=US1-US2-US3该方程就可由式(３-２)三项相加而得到，因此，它不是独立的。同样，如果再取别的回路，也不会得到其它的独立ＫＶＬ方程。取式(３-１)其中的任意三项与式(３-２)联立求解，即可得出六个支路电流。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理综上所述，对以支路电流为待求量的任何线性电路，运用KCL和KVL总能列写出足够的独立方程，从而可求出各支路电流。支路电流法的一般步骤可归纳如下：(1)在给定电路图中设定各支路电流的参考方向。(2)选择ｎ-１个独立节点，写出ｎ-１个KCL方程。(3)选网孔为独立回路，并设定其绕行方向，列写出各网孔的KVL方程。(4)联立求解上述独立方程，得出各支路电流。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理例3.1求图3.2所示电路中的各支路电流。解(1)由于该电路只有两个节点，故只能列一个KCL独立方程，选节点b为参考点，则节点a：I1+I2-I3=０(2)按顺时针方向列出两个网孔的KVL独立方程2I1-4I2=15-104I2+12I3=10第3章线性电路的一般分析方法和基本定理b＋－15V10V2412I1I2I3＋－a图3.2例3.1图第3章线性电路的一般分析方法和基本定理(3)联立求解上面三个方程，得I1=1.5Ａ,I2=-0.5Ａ,I3=１Ａ其中I2为负值，说明假定方向与实际方向相反。(4)为验证所求正确与否，列ＫＶＬ方程，把求得的电流值代入方程中，若方程两边相等，说明所求值正确。取最大回路，则有2I1+12Ｉ3=15将I1和I3数值代入，得左边=２×1.5+12×１=３+12=15=右边说明求出的值正确无误。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理例3.2电路如图３.３所示,试用支路电流法列写出求解各支路电流所需的联立方程组。图3.3例3.2图＋－I1R1R3USI2R2I3R4ⅠⅡ＋－U1＋－U1第3章线性电路的一般分析方法和基本定理解设网孔绕向如图3.3所示，则独立节点方程只有一个，即I１-I２-I３=０网孔方程有两个，即网孔Ⅰ：R１I１+R２I２-US=０网孔Ⅱ：-R2I2+(R3+R4)I３–μU1=０建立辅助方程，将控制量Ｕ１用支路电流表示，即U１=R１I１将以上四个方程联立即为所求。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理练习与思考3.1-1电路如图3.4所示，试用支路电流法列写出其所需方程组。图3.4题3.1-1图＋－I1R1R5I2R2I3R3US1I4R4I5＋－US2＋－US3第3章线性电路的一般分析方法和基本定理3.1-2在图3.5所示电路中，若要求各支路电流，试列出所需的联立方程组。图3.5题3.1-2图＋－USR6I6R5I5I1R1I2R2I4R4I3R3第3章线性电路的一般分析方法和基本定理３.２网孔电流法由人们主观设想的在网孔中流动的电流称为网孔电流。如图３.6(ａ)所示电路中的ＩⅠ、ＩⅡ、ＩⅢ，它们的参考方向是任意假定的。直接以设想的网孔电流为变量，ＫＶＬ方程而对电路进行求解的方法称为网孔电流法。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理图3.6网孔电流法＋－IⅠR2R3US4R6R5＋－＋－IⅡIⅢR4＋－US5US2US3＋－US1R1＋－I2R2R3US4R6R5＋－＋－I6R4＋－US5US2US3＋－US1R1I4I5I3I1(a)(b)第3章线性电路的一般分析方法和基本定理对于图３.6(ａ)电路，先对每个网孔列写ＫＶＬ方程。在列方程前，首先应设定各网孔电流的参考方向。为了使所列方程有规律且容易写出，通常设定所有网孔电流的参考方向都是顺时针(或都是逆时针)，并且回路的绕行方向取成与网孔电流的参考方向一致。于是可得(R1+R2+R3)IⅠ-R2IⅡ-R3IⅢ=US1-US2-US3-R2IⅠ+(R2+R4+R6)IⅡ-R6IⅢ=US2-US4-R3IⅠ-R6IⅡ+(R3+R5+R6)IⅢ=US3-US5(3-3)网孔Ⅰ：网孔Ⅱ：网孔Ⅲ：式(３-3)中各方程称为网孔电压方程，简称网孔方程。显然，网孔电流的个数以及所列ＫＶＬ方程的个数等于网孔数。求解式(3-3)，即可得出各网孔电流ＩⅠ、ＩⅡ、ＩⅢ。剩下的问题就是如何求各支路电流了。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理设各支路电流的参考方向如图3.6(b)所示。对照图3.6(a)和图3.6(b)中各网孔电流与各支路电流之间的关系，可以看出，所有支路电流都可以由网孔电流来表示，即IIIII6III5II4IIII3III2I1IIIIIIIIIIIIIII(3-4)第3章线性电路的一般分析方法和基本定理由此可见，只要能求出各网孔电流，就可进一步求出各支路电流。必须指出：(1)设想的网孔电流只是一种计算手段。实际上在一条支路中并不能观察到两个网孔电流，客观存在的仍是一个合成的支路电流。(2)设想的网孔电流并不违背ＫＣＬ定律，因为网孔电流沿着闭合路径流动，当它流经某一个节点时，必然是从该节点流入，又从该节点流出。因此，它们能自动地服从KCL定律。(3)各网孔电流之间相互独立，不受ＫＣＬ约束，也不能互求，因此网孔电流变量具有独立性，可作为电路分析的变量。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理在式(3-3)中，令R11=R1+R2+R3R22=R2+R4+R6R33=R3+R5+R6R12=R21=-R2R13=R31=-R3R23=R32=-R6US11=US1-US2-US3US22=US2-US4US33=US3-US5第3章线性电路的一般分析方法和基本定理这样式(3-3)可写成R11IⅠ+R12III+R13IⅢ=US11R21IⅠ+R22IⅡ+R23IⅢ=US22R31IⅠ+R32IⅡ+R33IⅢ=US33(3-5)其中R11、R22、R33分别称为网孔Ⅰ、网孔Ⅱ、网孔Ⅲ的自电阻，它们等于各自网孔中全部电阻之和，恒为正值。Ｒ12、Ｒ13、Ｒ23等分别为两个网孔公共支路的电阻，称为互电阻，它可正可负。当相邻两个网孔电流通过公共支路时的方向一致，则互电阻为正值；不一致时，互电阻为负值。在选定网孔电流都是顺时针或者都是逆时针方向的情况下，互电阻都是负的。US11、US22、ＵS33分别为网孔Ⅰ、网孔Ⅱ、网孔Ⅲ中所有电压源电压的代数和。各电压源前面符号的确定原则是：按网孔电流的箭头方向走，先遇到负极的电压源前面取“+”号，反之取“-”号。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理式(3-5)为网孔电流法常用的规范方程形式，很有规律，便于记忆，有助于对具体电路通过观察而写出所需的方程组。上面讨论的是具有三个网孔的情况，当网孔多于三个时(设为m个)，则规范方程形式应为SmmmmmmmmmmmUIRIRIRUIRIRIRUIRIRIRII2I1S222II22I2111S1II12I11(3-6)第3章线性电路的一般分析方法和基本定理网孔电流法的一般步骤可归纳如下：(1)确定网孔及设定各网孔电流的参考方向。一般都取同一方向，即同为顺时针或同为逆时针方向。(2)建立网孔方程组。方程的个数与网孔个数相等。一般可先计算出各网孔的自电阻，相互两网孔的互电阻和各网孔中电压源电压的代数和，然后再按规范方程形式写出方程组。(3)求解方程组，即可得出各网孔电流值。(4)设定各支路电流的参考方向，根据所求出的网孔电流即可求出各支路电流。第3章线性电路的一般分析方法和基本定理例3.3试求图3.7(a)所示电路中的电流I。图3.7例3.3图(a)(b)1＋－I2V1A112＋－2V111＋－I3V2＋－2V11IⅠIⅡIⅢ第3章线性电路的一般分析方法和基本定理解(１)将原电路变换成图3.7(b)所示电路，则可减少一个网孔。设定各网孔电流方向如图3.7(b)中所示，则有2V-2V,3V,211412142113111S33S22S11322331132112332211UUURRRRRRRRR第3章线性电路的一般分析方法和基本定理(２)将上述数值代入规范方程，则有242--22-4-3­3IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII(３)联立求解,可得A1213A,125A,5.1IIIIIIIII则A32-1213125IIIIIIII第3章线性电路的一般分析方法和基本定理(4)选取最大回路，列KVL方程来校核所求是否正确。1IⅠ+1IⅡ+1IⅢ=３将IⅠ、IⅡ、IⅢ数值代入，得右边左边312131255.1第3章线性电路的一般分析方法和基本定理例3.4试求图3.8(a)所示电路中各支路电流及电流源两端电压U。图3.8例3.4图(a)(b)＋－I1I224V5＋－U2AI33＋－I1I324V5＋－U2AI23IⅠIⅡ第3章线性电路的一般分析方法和基本定理解可将原电路改画成如图3.8(b)所示电路，让理想电流源只属于右边网孔。设定各网孔电流方向如图3.8(b)中所示。则ＩⅡ=2A，故只对网孔Ⅰ列KVL方程即可。于是有５IⅠ+３ＩⅡ=４以IⅡ=２Ａ代入上式，得５IⅠ+３×２=４所以A4.0564II各支路电流为A4.0I1II第3章线性电路的一般分析方法和基本定理1.6A