SSP第2章晶体结构几何2-110823-P

1第二章晶体结构几何基础2目录2.1晶体结构的周期性2.2几种常见的晶体结构2.3晶体结构的对称性2.4晶向、晶面与它们的标志32.3晶体结构的对称性2.3.1研究晶体结构对称性的目的晶体结构的对称性描述晶体在宏观外形上的规则性晶体结构的周期性描述晶体内部微观粒子排列的规则性，也称平移对称性。晶体宏观对称性指晶体外形由某种操作后恢复原状的特性。食盐(NaCl)晶体常见外形晶体外形上的对称性，是晶体内部结构规则性的反映。研究晶体对称性的目的：1、研究晶体内部结构；2、研究晶体物理性质42.3.2对称性操作类型(1)操作晶体经过某种操作原状的过程也是晶体中各质点坐标的某种变换。由于操作不改变晶体中任意二点的距离，因此，数学上这种操作是线性变换。设有操作A，将晶格中一点r(x,y,z)变换到r’(x’,y’,z’)，则这一变换表为r’=Arzyxaaaaaaaaazyx333231232221131211'''晶体中任何操作都可以是几种基本操作的组合。2.3晶体结构的对称性5(2)基本操作一：转动设晶体绕x1轴转过角，晶体中作一点r(x1,x2,x3)移到r’(x1’,x2’,x3’)则有：11'xxx1x2x3r(x1,x2,x3)r’(x1’,x2’,x3’)x2x3x2’x3’2.3.2对称性操作类型2.3晶体结构的对称性sincos)sinsincos(cos)cos('322xxrrxcossin)sincoscos(sin)sin('323xxrrx321321cossin0sincos0001'''xxxxxx6(3)基本操作二：中心反演(i)设中心为坐标原点，反演操作使晶体中任一点r(x1,x2,x3)移到r’(-x1,-x2,-x3)，则有：321321100010001'''xxxxxxx1x2x3r(x1,x2,x3)r’(x1’,x2’,x3’)i2.3.2对称性操作类型2.3晶体结构的对称性7(4)基本操作三：平面反映()设x3=0为反映平面，平面反映操作使晶体中任一点r(x1,x2,x3)移到r’(x1,x2,-x3)，则有：321321100010001'''xxxxxxx1x2x3r(x1,x2,x3)r’(x1’,x2’,x3’)2.3.2对称性操作类型2.3晶体结构的对称性8(5)基本操作四：平移操作设平移操作Rn=l1a1+l2a2+l3a3，使晶体中任一点r(x1,x2,x3)移到r’(x1’,-x2’,-x3’)，则有：321332211321100010001'''xxxalalalxxxx1x2x3r(x1,x2,x3)r’(x1’,x2’,x3’)Rn=l1a1+l2a2+l3a32.3.2对称性操作类型2.3晶体结构的对称性92.3晶体结构的对称性2.3.3晶体宏观对称性，点对称操作(1)点对称操作定义：在操作中至少有一点保持不动的操作称为点对称操作。在转动、反演、反映和平移四个基本对称操作中哪些是点对称操作？转动、反演和反映操作都是点对称操作。平移操作不是点对称操作。可以证明，由于晶体结构周期性的限制，晶体中的点对称操作只能有八种。它们分别是5个旋转对称轴，1个象转轴，另外还有1个中心反演和1个平面反映。10(2)旋转对称轴(Cn)定义：设，晶体绕某一固定轴旋转2/n角度后自身重合，则称该轴为晶体的n度对称轴，记作Cn。证明：晶体中对称轴，n只有1,2,3,4,6五种，n=5和n6不存在。设a0是晶体布拉菲格子在该方向的最短格矢，长度为a，并有通过O点与纸面垂直的n次对称轴，=2/n。当旋转，a0转到a1，则a1应为晶体中的另一格矢，其逆操作-，a0转到a2，则a2也应为晶体格矢。O=2/na1a2-2.3晶体结构的对称性2.3.3晶体宏观对称性，点对称操作a0a11a1+a2必定在a0方向上，也应是晶体格矢，而且a1+a2的长度一定是a的整数倍，即：0a0a1a2-为整数，mmanaa2cos2cos2所以，m只能取-2，-1，0，1，2m/2只能取-1，-1/2，0，1/2，1n对应只能取2，3，4，6，1共五种对应只能取，2/3,/2,/3,2五种。以上证明为晶体对称性定律2.3晶体结构的对称性2.3.3晶体宏观对称性，点对称操作12cos2cosnmn因为，12(3)象转轴(Sn)设，晶体绕某一轴转2/n后，再按垂直了此轴的平面作平面反映复原，则称此转轴为n次象转轴，记作Sn，也记作Sn=Cn，由于Cn只有五种，所以Sn也只有五种。可以证明：11CSCn为复合操作，不一定具有单独操作Cn，Cno为联合操作，晶体同时具备操作Cn和只有S4=C4是独立对称操作，不能表示为Cn，和i的联合操作。2.3晶体结构的对称性2.3.3晶体宏观对称性，点对称操作oiCCS366iCS22oCCS33313(4)图示象转轴操作44CS八种点对称操作：C1C2C3C4C6iS412346Im4国际符号熊夫利符号2.3晶体结构的对称性2.3.3晶体宏观对称性，点对称操作22，iCS333，oCCS，oiCCS366142.3晶体结构的对称性2.3.4晶体宏观对称性描述----点群不同类型晶体具有不同对称操作项目数。晶体对称性越高，所具有的对称操作项目数越多。晶体的不同宏观对称性通过晶体具有的点对称操作的不同集合来描述。数学上，所有对称操作的集合构成一个“群”，集合中的每个操作称为群的一个“元素”。点群----由八个基本点对称操作所构成的集合。可以证明，由于晶格周期性的限制，晶体的点群只能有32种，即：晶体只能有32种不同类型的宏观对称性。152.3晶体结构的对称性晶体的32种宏观对称类型162.3晶体结构的对称性2.3.5晶体微观对称性描述----空间群布拉菲格子定义晶体在无限空间。晶体微观上无限大----平移任意布拉菲格矢的对称操作，晶体自身重合。即：晶体的微观对称性，也称晶体的平移对称性，反映了晶格的平移周期性。定义空间群：----使晶体复原的平移操作和点对称操作的集合。可以证明，由于晶体周期性的限制，使晶体复原的平移操作和点对称操作的集合，只能有230种不同类型。即，所有晶体结构，就其对称性而言，共有230种类型，每一种类型由一个空间群来描述。17空间群中二个新对称操作1、n度螺旋轴：绕该轴转2/n后，再沿轴方向平移T/n的l倍，使晶体重合。T为轴方向的周期矢量，l为小于n的整数，n为1,2,3,4和6。2、滑移反映面：经该面反映后，再沿平行于该面的某方向平移T/n，使晶体重合。T是该方向的周期矢量，n为2或4。计入平移后的对称操作4度螺旋轴和滑移反映面示意图2.3晶体结构的对称性2.3.5晶体微观对称性描述----空间群182.3晶体结构的对称性2.3.6晶系，布拉菲晶胞晶胞区别于原胞的一个重要特征：晶胞不仅反映了晶体结构的周期性，也反映了晶体的宏观对称性。晶胞基本特征用基矢来描述，即，基矢a,b,c的长度及其它们间的夹角来描述。可以证明，晶胞基矢由长度和夹角不同的组合方式只能有7种。每种组合称为一个晶系。7大晶系：立方晶系，六方晶系，四方晶系，正交晶系，单斜晶系，三斜晶系，三方晶系，六方晶系。考虑到格点是否在体面和体心，7个晶系共包含14种不同类型的晶胞，称为14种布拉菲晶胞。19晶系布拉菲格子对称性最高的点群晶胞基矢特征立方晶系简单立方，体心立方面心立方Oha=b=c===90o四方晶系简单四方体心四方D4ha=b≠c===90o正交晶系简单正交，底心正交体心正交，面心正交D2ha≠b≠c===90o单斜晶系简单单斜底心单斜C2ha≠b≠c==90o≠三斜晶系简单三斜Cia≠b≠c≠≠≠90o三方晶系三方D3da=b=c==≠90o(120o)六方晶系六方D6ha=b≠c==90o，=120o7大晶系的有关特征2.3晶体结构的对称性2.3.6晶系，布拉菲晶胞202.4晶向、晶面与它们的标志2.4.1晶向及其标志方向性是晶体的一个基本特征，如何区别和标志晶格中的不同方向是固体物理学，特别是结晶学的重要内容。晶列和晶向：布拉菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上，此直线称为晶列。a1a2每个晶列定义了一个方向，称为晶向。相互平行的晶列构成晶列系。每个晶列系包含所有格点。晶格中存在无穷多个晶列系。21晶向指数：设，从格点沿晶向到最近格点的平移矢量为，l1a2+l2a2+l3a3,a2,a2,a3为基矢则，晶向用l1l2l3来标志，记作：[l1l2l3]，称为晶向指数。a1a2[11][01]]01[i0jk[100][110]]111[2.4晶向、晶面与它们的标志2.4.1晶向及其标志？？？？22等效晶向：如下图，立方晶格的立方边可定义六个不同晶向由于晶格的对称性，它们没有区别，称为等效晶向，记作001]100[],001[],010[],010[],001[],100[[100]及其6个等效晶向2.4晶向、晶面与它们的标志2.4.1晶向及其标志ijk[100][???][???][???][???][???]ijk[???][???][???][???][???][???][???][111]及其8个等效晶向[110]及其12个等效晶向23晶面：布拉菲格子的所有格点可以看成分布在一系列相互平行，等间距的平面上，这样的平面称为晶面。相互平行，等间距的晶面构成晶面系。2.4晶向、晶面与它们的标志2.4.2晶面及其标志a3垂直于纸面a1a2每个晶面系包含所有格点，格点在晶面系的各晶面上分布相同.晶格中存在无穷多个晶面系。24晶面系的标志：取原胞基矢a1,a2,a3为坐标轴，及晶面系中不过原点的晶面A，设，在三个坐标轴上截距321'''aaanml，，倒数的互质整数比取系数',','nml则用l,m,n来标志这一晶面系，记作(h1h2h3)，称为晶面指数。121/23211221aaa，，截距取倒数避免晶面指数无穷大(晶面平行坐标轴时其截距在无穷远，其倒数为零)。互质----定义晶面过格点。整数----定义晶面为原点最近邻晶面。2.4晶向、晶面与它们的标志2.4.2晶面及其标志'1:'1:'1::nmlnml即：l'a1m'a2n'a3a1a2a3A2)1(4晶面指数1212，，系数倒数214：：互质整数比举例：252.4晶向、晶面与它们的标志2.4.3密勒指数密勒指数：取晶胞基矢为坐标轴，则给定晶面在三个坐标轴上截距倒数互质整数比记作(hkl)，称为此晶面的密勒指数。由于晶胞基矢取晶体对称轴。密勒指数比晶面指数包含了更多的晶体结构信息。可以验证，简单立方晶格中一个晶面的密勒指数和这个晶面法线的晶向指数完全相同。简单立方晶格中几个主要晶面的密勒指数26等效晶面：立方晶格中垂直于三个坐标轴的晶面(100)，(010)，(001)，由于晶格的对称性，它们没有区别，称为等效晶面，记作{100}。可以验证，立方晶格{100}，{110}，{111}的等效晶面数分别为3,6,4(根据下图分别指出？)。2.4晶向、晶面与它们的标志2.4.3密勒指数简单立方晶格中几个主要晶面的密勒指数27对于六方晶系，为了表示其六方对称性特征，通常用(hkil)四个指数来标志晶面。四个坐标轴如下图所示。根据几何关系，容易证明h+k=-i。图中给出了六方晶格中几个重要晶面的密勒指数。2.4晶向、晶面与它们的标志2.4.3密勒指