核心素养理念下的数学教学变革

核心素养理念下的数学教学变革人民教育出版社章建跃[e-mail]一、数学课改的核心任务•十八大提出的“教育的根本任务在于立德树人”就是整个教育改革的核心任务。•数学教育的核心任务是“数学育人”。•如何把这个要求在数学教育中落实下来，抓手在哪里？•教育部的顶层设计，数学学科的“立德树人”是“以数学学科核心素养为纲”。•义教课标中提出了八个“核心概念”：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想；•高中课标修订组进一步提炼了六个数学学科核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析。•数学课改的核心任务是提升学生的数学学科核心素养，要有具体措施，要把数学学科核心素养落实在数学教育的各个环节。二、关于落实核心素养的思考•“学科育人”要依靠学科的内在力量。•“数学育人”要用数学的方式，在数学内部挖掘育人资源，并使它们在数学教育的各个环节中发挥作用。•增强课程意识，把握教改方向，明确数学育人目标，提升数学育人的实效性，提高教育教学质量。问题思考•数学课程的育人力量是什么？•什么叫“数学的方式”？•一线教师的课程意识是如何表现的？一线教师的课程意识（1）我教的是一门怎样的课——课程性质（2）这门课能发挥怎样的育人功能，在学生发展中的不可替代作用是什么——课程目标（3）如何教这门课——课程实施（4）这样教在多大程度上实现了它的育人功能——课程评价数学是一门怎样的课？•数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等理解和表达现实世界中事物的本质、关系与规律。——课标如是说。•数学是思维的科学，具有“追求最大限度的一般性模式特别是一般性算法的倾向”，有一套具有普适性的思考结构和交流的符号形式，这种结构和符号形式是强大的，富有逻辑，简明而且精确，是人们可以借助于理解和处理周围环境的一种思维方式，包括：抽象化、运用符号、建立模型、逻辑分析、推理、计算，不断地改进、推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内进行概括，建立更为一般的统一理论等一整套严谨的、行之有效的科学方法，这是在获得数学结论、建立数学知识体系的过程中必须使用的思维方式。•推理是数学的命根子，运算是数学的“童子功”。思维训练的载体就是推理和运算。•数学是一门语言，与语文有相似的特性，它有自己的一套独立的符号系统和严谨的表达方式——阅读、表达、交流的工具。数学学科的独特育人功能•主要在培养学生的思维特别是逻辑思维上，要使学生学会思考，特别是学会“有逻辑地思考”、创造性思考，使学生成为善于认识问题、善于解决问题的人才。•学会严格的逻辑推理，学会运算的方法和技巧。•学会使用数学语言，能用数学的方式阅读、表达和交流。以数学知识为载体发展学生的核心素养•完整的数学学习过程：*数学研究对象的获得*研究数学对象*应用数学知识解决问题•数学对象的获得，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后一致、逻辑连贯性，从“事实”出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，提升数学抽象、直观想象等素养；•对数学对象的研究，要注重以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，通过数学的推理、论证证明结论（定理、性质等）的过程，提升推理、运算等素养；•应用数学知识解决问题，要注重利用数学概念原理分析问题，体现建模的全过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。“两个过程”的合理性•从数学知识发生发展过程的合理性、学生思维过程的合理性上加强思考，这是落实数学学科核心素养的关键点。•前一个的核心是数学的学科思想问题，后一个是学生的思维规律、认知特点问题。•以发展学生数学素养为追求，根据学生的认知规律，螺旋上升地安排教学内容，特别是要让重要的（往往也是难以一次完成的）数学概念、思想方法得到反复理解的机会。•以“事实——概念——性质（关系）——结构（联系）——应用”为明线；•以“事实——方法——方法论——数学学科本质观”为暗线。从数学思维、思想或核心素养角度看•“事实——概念”主要是“抽象”（对典型而丰富的具体事例进行观察、比较、分析，归纳共性，抽象出共同本质特征，并推广到同类事物中去而得出概念）；•“概念——性质”主要是“推理”，包括通过归纳推理发现性质，通过（逻辑）演绎推理证明性质；•“性质——结构”主要也是“推理”，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程；•“概念、性质、结构——应用”主要是“建模”，是用数学知识解决数学内外的问题。强调获得“事实”的教育价值•“数学事实”是数学学习的“原材料”，也是数学育人的首要素材；•真正的学习必须经历“感知—感悟—知识”的过程；•以“事实”为支撑的概念理解才是真理解，才能形成对概念本质的深刻体悟，教学应从让学生获得数学事实开始。•增加概括概念、发现性质所需的素材，提供丰富的、真实的应用问题；•调动所有感官参与学习，安排动眼观察、动手操作、动脑思考的实践活动，使学生通过自主活动获取理解概念所需的“事实”；•增加“悟”的时间，长时间的“悟”，然后是有所体验、有所心得、有所发现。•在整个教学过程中，都要发挥“一般观念”的作用，加强“如何思考”、“如何发现”的启发和引导，特别是在概念的抽象要做什么、“几何性质”“代数性质”“函数性质”指什么等问题上要及时引导，以使学生明确思考方向。教师的专业发展水平和育人能力是落实核心素养的关键理解数学理解学生理解教学•当前的主要问题是教师在“理解数学”上不用功，数学水平不高导致数学课教不好数学，甚至数学课不教数学，使数学越来越难学，使学生越学越糊涂。理解数学知识的三重境界知其然知其所以然何由以知其所以然——启发学生，示以思维之道耳！三、系统观指导下的数学教学系统观的内涵：•整体性——把研究对象看成一个整体，从整体出发，在组成系统的各要素相互关系中探究研究对象的本质和规律。•层次性——系统是由要素组成的整体；每个系统又是它的上位系统的组成要素，由此构成具有层级关系的整体，这就是层次性。先把握基本要素，再看要素组成的子系统，然后再看子系统组成的上位系统……这样才能具有思想性、观念性。联系性•系统和系统之间、各要素之间、系统和要素之间是相互联系、相互作用的。•任何事物都由若干部分、要素构成，各部分、要素相互依存、相互联系。只有这样，事物才能成为有机整体。•任何事物都与周围的其他事物相互联系着，包括横向联系和纵向联系。目的性•数学育人目标有一个从宏观到微观的层级系统。•教学设计应该把教学过程看成具有一定发展规律和趋势的系统，在宏观目标指导下分析具体目标和内容，要注意把宏观目标落实在具体课堂中，使每一堂课都为达到宏观目标服务。•问题：数学育人目标的层级系统是怎样的？宏观到微观的目标体系•教育方针•课程目标•单元目标•课时目标•课堂教学中，三维目标融为一体，内容为载体，过程中体现思想方法、思维能力，挖掘内容所蕴含的育人资源，实现数学素养的逐步提升。•当前数学教学中存在的主要问题仍然是：碎片化教学，做题目成为一切，充其量只是培养了做题目的机器。•从数学育人的出发点和归宿看，思维的教学，培养学生的理性思维，发展学生的理性精神，这是根本。问题是：依靠什么来实现？•教学内容的整体性——载体；•系统思维——目标；•单元教学——途径。单元教学的组织要义•整体——局部——整体•前一个“整体”是先行组织者，认识的结构、普适性的思想方法、解决问题的策略，等等。•“局部”是对数学对象的内涵、要素、概念的定义和表示、分类、性质、特例……的研究，在这个过程中加强“如何归纳、抽象概念”、“如何发现值得研究的问题”、“如何研究性质”、“如何找到证明的方法”……的引导。•后一个“整体”，在分课时学习基础上的归纳、总结，不仅完善本单元的知识结构，而且建立与相关知识的联系，形成结构功能良好、迁移能力强的认知结构。系统观指导下的单元教学设计平面向量起始课•课标要求：构建研究平面向量的基本线索，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素。•教学设计要求：体现先行组织者思想，要在数学的整体观指导下，构建研究一个数学对象（平面向量）的基本线索，在此基础上构建平面向量的概念。提升学生的数学抽象、直观想象素养。先行组织者：构建研究路径•“平面向量”是高中数学中典型的“新对象”：既是几何研究对象，也是代数研究对象，是沟通几何与代数的桥梁；向量理论是描述直线、曲线、平面、曲面以及高维空间数学问题的基本工具。•问题思考：①“几何对象”指什么？“代数对象”指什么？②向量是怎样的基本工具，如何使它好用？•——方向很重要，方向如何“运算”是关键。研究路径是什么？如何构建？•背景引入•概念定义、表示、性质（要素之间的特殊关系）•运算和运算律（引进一种量就要定义运算，定义一种运算就要研究运算律）•向量基本定理及坐标表示•应用•问题思考：①章引言怎么用？②“研究路径”非出不可，什么时候出？开头、中间或结尾？“获得向量概念”要做哪些事？•获得研究对象：定义向量概念，认识“平面向量集合”中的元素。•现实背景（力、速度、位移等）——定义——表示（图形、符号、方向、大小）——特例（零向量、单位向量）——性质（向量与向量的关系，相等是最重要的关系；重点考虑“方向”，所以先有平行、共线、相反向量；等等）。延伸问题：如何定义向量加法？•既有大小，又有方向——“方向”如何相加？•“位移”是最好的模型，得到“三角形法则”；•接下来研究什么问题？•定义a+0=0+a=a（完备性）；•向量加法的性质：特例（共线）、三角形不等式；运算律。四、构建研究几何对象的整体思路•立体几何研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系。•位置关系：用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证；•研究方法：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等。•总体目标：认识和探索空间图形的概念、判定和性质，建立空间观念；提升直观想象、逻辑推理和数学抽象素养。•位置关系的具体内容：点、直线、平面作为“基本图形”，四个基本事实（平面三公理，平行公理）、一个等角定理；直线、平面的平行和垂直的判定、性质。1.平面三公理•课标要求：借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面位置关系的定义，了解三个公理。•教学设计要求：要引导学生体会刻画空间中点、直线、平面的基本特征（如平面的“平”）的方法，要注意“三种语言”的训练，建立空间观念，提升直观想象、数学抽象素养。•问题1“平面三公理”的内容是什么？它的数学功能是什么？•问题2从中能体会刻画平面的“平”的数学思想方法吗？•问题3在理解点、直线、平面位置关系的过程中，作图的作用是什么？2.关于位置关系的性质•什么叫“性质”？——只有明白了这个问题，才能使学生在独立面对一个数学对象时知道从哪里下手研究性质，才能使学生自主探究，才能使发现问题、提出问题的能力的培养落在实处。这样，核心素养的落实也就自然而然、水到渠成。•“性质就是一类事物共有的特性”，正确但过于宏观，在具体思考中没有可操作性，需要针对具体内容进行归纳。例如：•运算中的不变性（规律性）就是性质——研究代数性质，“算算看”是基本方法；•变化中的不变性（规律性）就是性质——研究函数的性质，在运动变化中进行观察是基本方法；•要素和要素之间确定的关系就是性质——观察几何图形的构成要素之间的相互关系（位置关系、大小关系等）是研究几何性质的基本方法；•……几何性质的分类•几何问题可以分为两大类：几何图形的结构特征几何图形的位置关系•几何图形的性质：一个几何图形的组成要素、相关要素之间的相互关系（定性、定量）；•位置关系的性质：点、直线、平面的位置关系，核心是平行、垂直，距离、角度、对称等是刻画位置关系的基本方法。什么叫“几何体的结构特征”？•结构特征就是这类几何对象（如棱柱）组成要素之间确定的关系。•结构特征有多种表现形式，选刻画这类对象的充要条件作为定义（包含的要素关系尽量少），作为研究的出发点，