单位根检验

时间序列平稳性的单位根检验本节基本内容:●单位根检验●Dickey－Fuller检验●AugmentedDickey－Fuller检验一、单位根过程为了说明单位根过程的概念，我们侧重以AR(1)模型进行分析：根据平稳时间序列分析的理论可知，当时，该序列｛｝是平稳的,此模型是经典的Box-Jenkins时间序列AR(1)模型。Yt11tt-tYφYεt当，则序列的生成过程变为如下随机游动过程(RandomWalkProcess)：其中{}独立同分布且均值为零、方差恒定为。随机游动过程的方差为：当时，序列的方差趋于无穷大，说明随机游动过程是非平稳的。1-1-2-112-12Var()Var()Var()Var()ttttttttYYεYεεεε...εεtσttY=Yε1tt2单位根过程如果一个序列是随机游动过程，则称这个序列是一个“单位根过程”。为什么称为“单位根过程”？将一阶自回归模型表示成如下形式：其中，是滞后算子，即-1-(1-)tttttYYεLYε或-1ttLYYL根据模型的滞后多项式，可以写出对应的线性方程：（通常称为特征方程）该方程的根为：。当时序列是平稳的，特征方程的根满足条件；当时，序列的生成过程变为随机游动过程，对应特征方程的根，所以通常称序列含有单位根，或者说序列的生成过程为“单位根过程”。1-L1-0ZZ11Z11Z结论:随机游动过程是非平稳的。因此，检验序列的非平稳性就变为检验特征方程是否有单位根，这就是单位根检验方法的由来。从单位根过程的定义可以看出，含一个单位根的过程，其一阶差分：是一平稳过程，像这种经过一次差分后变为平稳的序列称为一阶单整序列(IntegratedProcess)，记为。-1-ttttYYYuItY（1）有时，一个序列经一次差分后可能还是非平稳的，如果序列经过二阶差分后才变成平稳过程，则称序列为二阶单整序列，记为。一般地，如果序列经过次差分后平稳，而次差分却不平稳，那么称为阶单整序列，记为,称为整形阶数。特别地，若序列本身是平稳的,则称序列为零阶单整序列，记为。tYI2tY（）tYItYd（）I0tY（）ddd1d二、Dickey-Fuller检验（DF检验）大多数经济变量呈现出强烈的趋势特征。这些具有趋势特征的经济变量，当发生经济振荡或冲击后，一般会出现两种情形:●受到振荡或冲击后，经济变量逐渐又回它们的长期趋势轨迹；●这些经济变量没有回到原有轨迹，而呈现出随机游走的状态。若我们研究的经济变量遵从一个非平稳过程，一个变量对其他变量的回归可能会导致伪回归结果。这是研究单位根检验的重要意义所在。假设数据序列是由下列自回归模型生成的：其中，独立同分布，期望为零，方差为，我们要检验该序列是否含有单位根。检验的原假设为：回归系数的OLS估计为：检验所用的统计量为：tε-1tttYY2σ0H:1-12-1ˆtttyyyˆˆ-ˆtσ在成立的条件下，t统计量为：Dickey、Fuller通过研究发现，在原假设成立的情况下，该统计量不服从t分布。所以传统的t检验法失效。但可以证明，上述统计量的极限分布存在，一般称其为Dickey-Fuller分布。根据这一分布所作的检验称为DF检验,为了区别,t统计量的值有时也称为值。ˆˆ-1ˆt0H:1Dickey、Fuller得到DF检验的临界值，并编制了DF检验临界值表供查。在进行DF检验时，比较t统计量值与DF检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或接受原假设。在实际应用中，可按如下检验步骤进行：(1)根据观察数据，用OLS法估计一阶自回归模型，得到回归系数的OLS估计：-1tttYYε121ˆtttyyy(2)提出假设检验用统计量为常规t统计量，(3)计算在原假设成立的条件下t统计量值，查DF检验临界值表得临界值，然后将t统计量值与DF检验临界值比较：若t统计量值小于DF检验临界值，则拒绝原假设，说明序列不存在单位根；若t统计量值大于或等于DF检验临界值，则接受原假设，说明序列存在单位根。0H:1ˆˆ-ˆt1H:1Dickey、Fuller研究发现，DF检验的临界值同序列的数据生成过程以及回归模型的类型有关，因此他们针对如下三种方程编制了临界值表，后来Mackinnon把临界值表加以扩充，形成了目前使用广泛的临界值表，在EViews软件中使用的是Mackinnon临界值表。这三种模型如下：模型I：模型Ⅱ：模型Ⅲ：-1tttYYε-1tttYYε-1tttYtYεDF检验存在的问题是，在检验所设定的模型时，假设随机扰动项不存在自相关。但大多数的经济数据序列是不能满足此项假设的，当随机扰动项存在自相关时，直接使用DF检验法会出现偏误，为了保证单位根检验的有效性，人们对DF检验进行拓展，从而形成了扩展的DF检验(AugmentedDickey-FullerTest)，简称为ADF检验。三、AugmentedDickey-Fuller检验（ADF检验）假设基本模型为如下三种类型：模型I：模型Ⅱ：模型Ⅲ：其中为随机扰动项，它可以是一个一般的平稳过程。-1tttYY-1tttYY-1tttYtYt为了借用DF检验的方法，将模型变为如下式：模型I：模型Ⅱ：模型Ⅲ：可以证明，在上述模型中检验原假设的t统计量的极限分布，与DF检验的极限分布相同，从而可以使用相同的临界值表，这种检验称为ADF检验。-1-1pttititiYYY-1-1pttititiYYY-1-1pttititiYtYY根据《中国统计年鉴2004》，得到我国1978—2003年的GDP序列(如表10.1)，检验其是否为平稳序列。表10.1中国1978—2003年度GDP序列例时序图见图1由GDP时序图可以看出，该序列可能存在趋势项，因此选择ADF检验的第三种模型进行检验。估计结果如下：ttttGDP-1565.141355.62-0.02883GDP1.016GDP-0.460382GDPt在原假设下，单位根的t检验统计量的值为在1％、5％、10％三个显著性水平下，单位根检验的Mackinnon临界值分别为-4.4167、-3.6219、-3.2474，显然，上述t检验统计量值大于相应临界值，从而不能拒绝，表明我国1978——2003年度GDP序列存在单位根，是非平稳序列。ˆˆ--0.028830-0.786011ˆ0.036679t