三角函数线A4学案

第一章三角函数1.2.1第2课时三角函数线【学习目标】1.理解单位圆、有向线段的概念；2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.；能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题;3.在教学中体现数学文化的渗透，从数学史的角度让学体会从三角函数概念的“终边定义法”到“单位圆定义法”的发展过程；4.通过尺规作图经历概念的形成过程，提高观察、发现、类比、猜想和实验探索的能力，提高数学抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力.【温故·习新】1748年欧拉在《无穷小分析论》中说:“三角函数是一种函数线与圆半径的比值”。欧拉给出了包括正弦函数在内的六个函数的定义。欧拉提出的三角函数定义，使三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为一门反映现实世界中某些运动和变化、具有现代数学特征的学科。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，他还令圆的半径等于1，定义了单位圆，以相应线段与半径的比值定义三角函数，这样使得三角函数的定义更为简单。问题1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？问题2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？知识梳理（1）单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆．（2）有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段．规定了正方向的直线称为有向直线．（3）有向线段的数量：根据有向线段AB在有向直线l或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB.问题3如图，x轴上有三个点A，B，C，则AB=，BC=，CB=.问题4是否可以在角a的终边上取一个特殊点，使得三角函数值的表达式更为简单？问题5在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sinα，cosα，tanα与MP，OM，AT的关系吗？问题6三角函数线的方向是如何规定的？问题7三角函数线的长度和方向各表示什么？知识梳理图示正弦线角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线段________即为正弦线余弦线有向线段________即为余弦线正切线过点A(1,0)作单位圆的切线，这条切线必然平行于y轴，设它与α的终边或其反向延长线相交于点T，有向线段________即为正切线问题8根据单位圆中的三角函数线，探究：（1）正弦函数、弦函数、正切函数的值域?（2）正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]的单调性？（3）正切函数在区间的单调性？【释疑·拓展】例1作出的正弦线、余弦线和正切线．变式1在单位圆中画出满足sinα＝的角α的终边，并求角α的取值集合．变式2在单位圆中画出满足sinα≥32的角α的终边的范围，并由此写出角α的取值集合．【反馈·提炼】1．在[0,2π]上,满足sinx≥的x的取值范围为________．2．作出的正弦线、余弦线、正切线.．【规律·方法】1．三角函数线的意义2．三角函数线的画法及简单应用3．三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数的概念．与三角函数的定义结合起来，可以从数与形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律的理解更容易了．