正弦定理和余弦定理复习课件

3.7正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容__________________＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝________________，b2＝________________，c2＝____________________．b2＋c2－2bc·cosAc2＋a2－2ca·cosBa2＋b2－2ab·cosCasinA＝bsinB＝csinC【思考探究】在△ABC中,sinA＞sinB是A＞B的什么条件?提示：充要条件.因为sinA＞sinBBAbaRbRa＞＞＞221.(2013·济南检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为()A.6πB.4πC.2πD.3π【解析】由2sin4πB＝2，得B＝4π，由正弦定理，得sinA＝2124πsin2sinbBa，又∵A＜B＝4π，∴A＝6π.【答案】A2.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若C＝120°，c＝2a，则()A.abB.abC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定【解析】方法一由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，即1251,012ababab，故ba.方法二由余弦定理得2a2＝a2＋b2－2abcos120°，b2＋ab－a2＝0，b2＝a2－ab＝a(a－b)0，∴ab.方法三由c＝2a.∴sinC＝2sinA.∴sin120°＝2sinA.∴sinA＝4621.又∵A＋B＝60°，∴A30°.∴AB.【答案】A3.（2014·天津联考)在钝角△ABC中，已知AB＝，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积是（)A.B.C.D.【解析】由正弦定理得即，sinC＝.则C＝60°或120°，C＝60°时，△ABC为直角三角形（舍去)；C＝120°时，A＝30°所以S＝×1×3×sin30°＝【答案】B323432343CABBACsinsinCsin32114321434.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为三角形.【解析】由bcosC＋ccosB＝asinA，得sinBcosC＋sinCcosB＝sin2A，即sin（B＋C)＝sin2A，所以sinA＝1，由0Aπ，得A＝，所以△ABC为直角三角形.【答案】直角25．在△ABC中，如果A＝60°，c＝4，a＝6，则三角形解的情况是________．解析：∵csinA＝4sin60°＝23＞6，∴三角形无解．答案：无解利用正弦定理、余弦定理理解三角形1.解三角形的目标与条件任意一个三角形中都含有三条边和三个角这六个基本量，解三角形即是按题设要求，求出这六个基本量中若干个未知的量（或判断出这样的三角形不存在）.由于任意三角形中，都能由正弦定理、余弦定理和内角和定理得到相应的三个等式，从而可以看成已有关于六个基本量的三个方程，因此，当已知一个三角形中的任意三个基本量（必含一条边）或有关这样的三个量的三个独立条件时，从解方程组的角度分析，这个三角形就是可解三角形.2.可解三角形的基本类型（1）利用正弦定理可解以下两类三角形：一是已知两角和一角的对边，求其他边角；二是已知两边和一边的对角，求其他边角.（2）利用余弦定理可解两类三角形:一是已知两边和它们的夹角,求其他边角;二是已知三边求其他边角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的.（1)（2014·杭州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，c＝，B＝45°，求sinC.（2）在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.【解析】（1)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋32－＝25，即b＝5所以sinC＝243222285452224sinbBc（2）由正弦定理得∴sinA＝.∵ab，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝。45sin2＝Asin3，Bsinb＝Asina23226BsinCbsin22-6BsinCbsin【变式训练】1.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．【解析】(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状1.三角形形状的判断方向从三角形的边角关系考虑：是否锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；是否等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等.2.常用判断方法（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论.（1）（2014·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，试判断△ABC的形状.（2）在△ABC中，若（a2＋b2)sin（A－B)＝（a2－b2)·sin（A＋B)，试判断△ABC的形状.【解析】（1)由2c2＝2a2＋2b2＋ab，得a2＋b2－c2＝－所以cosC＝＝＜0，所以90°＜C＜180°，即△ABC为钝角三角形.ab21abcba222241221-abab（2）∵（a2＋b2)sin（A－B)＝（a2－b2)sin（A＋B)，∴b2［sin（A＋B)＋sin（A－B)］＝a2［sin（A＋B)－sin（A－B)］，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.方法一由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，02A2π，02B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二由正弦定理、余弦定理得：a2b＝b2a∴a2（b2＋c2－a2)＝b2（a2＋c2－b2)，∴（a2－b2)（a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0，即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰或直角三角形.22acbca2222bcacb2222【变式训练】2.已知△ABC中，AB＝m，BC＝m＋p(m、p＞0)，AC＝m2＋n2，若m2＝n2＋p2，试根据pm的值的变化来判断△ABC是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形？【解析】依题意三角形中AB边最小，∴角C必为锐角，∵cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝m2＋m2＋2mp＋p2－m2－n22AB·BC＝2mp＋2p22AB·BC＝mp＋p2AB·BC＞0，∴角B也是锐角，又cosA＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝m2＋m2＋n2－m2－2mp－p22AB·AC且m2＝n2＋p2，∴cosA＝m2－mp－p2AB·AC，0＜pm＜1，故当m2－mp－p2＞0，即0＜pm＜5－12时，角A也为锐角，此时△ABC是锐角三角形；当m2－mp－p2＝0，即pm＝5－12时，角A为直角，此时△ABC是直角三角形；当m2－mp－p2＜0，即5－12＜pm＜1时，角A为钝角，此时△ABC是钝角三角形．与三角形面积有关的问题在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．解析：(1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3.所以12absinC＝3，得ab＝4，联立方程组a2＋b2－ab＝4ab＝4，解得a＝2b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×433×233×32＝233；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4b＝2a，解得a＝233b＝433，所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233.综上：△ABC的面积为233.【变式训练】3.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足.（1）求角A的大小；（2）若a=,求△ABC面积的最大值.AcosBcos=ab-2c52【解析】(1)∵2c－ba＝cosBcosA，∴(2c－b)·cosA＝a·cosB，由正弦定理，得(2sinC－sinB)·cosA＝sinA·cosB，整理得2sinC·cosA－sinB·cosA＝sinA·cosB，∴2sinC·cosA＝sin(A＋B)＝sinC.在△ABC中，sinC≠0，∴cosA＝12，由A为三角形的内角，∴A＝π3.(2)由余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，a＝25，∴b2＋c2－20＝bc≥2bc－20，∴bc≤20，当且仅当b＝c时取“＝”，∴三角形的面积S△ABC＝12bcsinA＝34bc≤53，∴△ABC面积的最大值为53.1.判断三角形的形状在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角关系或边边关系，再用三角变换或代数式的恒等变形（如因式分解、配方等）求解.2.判定三角形解的个数的方法在△ABC中,已知边a,b和角A时,判断三角形解的情况有以下两种方法:方法一:可依据下表方法进行判断:从近几年全国各地的高考试题分析，正弦定理、余弦定理已经成为常考内容，通常出现在解答题第1题的位置上，一则考查运用正弦定理、余弦定理求解三角形的能力，二则考查三角形内的三角变换水平，常需要综合运用各类三角公式来达到解题目的，同时这一知识也能十分融洽地与向量知识、立体几何知识交汇在一起命题，命题难度中等偏低.（2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos（B＋C)＝1.（1)求角A的大小；（2)若△ABC的面积S＝，b＝5，求sinBsinC的值.【规范解答】（1)由cos2A－3cos（B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即（2cosA－1)（cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2（舍去).因为0＜A＜π，所以A＝.35213（2)由S＝bcsinA＝得bc＝20.又b＝5，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21故a＝又由正弦定理，得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝2135432321bcbc21abac2abc75432120【阅后报告】（1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，