圆综合的八大模型

圆综合的八大模型《圆的证明与计算》专题训练•圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。•一、考题形式分析：•主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。模型一：从圆外作圆的两条切线问题•【例1】．（2012•襄阳）如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．•（1）求证：直线PA为⊙O的切线；•（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；•（3）若BC=6，tan∠F=，求cos∠ACB的值和线段PE的长．•【练习1】（2011•广安）如图所示，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．•（1）求证：PB是⊙O的切线；•（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；•（3）设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长．•【练习2】（2013年全国初中数学联合竞赛试题本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若，求的值。92OPACPBAC模型二：从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题•【例2】．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.•（1）求证：DE=DF；•（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求的值.•【解决问题的思维方法是】tanAOCFEDBA•【练习1】（2011四川乐山24，10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.•(1)求证:CD是⊙O的切线;•(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=,求BE的长23•【练习2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，D是弧AC的中点，，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.•（1）求证：EF为⊙O的切线；•（2）若AC=6，BD=5，求sinE的值.EAOFDCB模型三：过直径的端点作圆的两条切线问题•【例3】．（2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.•（1）求证：△ABC∽ΔOFB；•（2）当ΔABD与△BFO的面积相等时，求BQ的长；•（3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.【解决问题的思维方法是】•【练习1】（2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆O与BC相切.•(1)求证：OB丄OC;•(2)若AD=12，∠BCD=60°，⊙O1与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O1的面积.•【练习2】如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.•（1）求证：AD是⊙O的切线；•（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.FOEDCBA模型四：以等腰三角形的一腰为直径作圆的问题•【例4】．如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．•（1）求证：DF是⊙O的切线．•（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长•【解决问题的思维方法是】OFEDCBA•【练习1】（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC中，BC=AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．•⑴求证：点D是AB的中点；•⑵判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；•⑶若⊙O的直径为18，cosB=，求DE的长．31•【练习2】（2012•肇庆）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P．求证：•（1）D是BC的中点；•（2）△BEC∽△ADC；•（3）AB•CE=2DP•AD．•【练习3】如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作•⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.•（1）求证：DE为⊙O的切线；•（2）若BC=，AE=1，求的值.OEDCBA45cosAEO模型五：过直径的端点作一条或两条垂线于圆的切线问题•【例5】．（2012•西宁）如图（1），AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，若直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．•（1）求证：△ADC∽△ACB；•（2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交⊙O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tan∠DAC的值．•【练习1】（2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作，垂足为D.•(1)求证：CD为⊙O的切线；•(2)若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.•【练习2】直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.•⑴求证：CD为⊙O的切线•⑵若，求的值53ABBEDFBFFOECDBA模型六：和切线平行的弦的问题•【例6】．（2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E.⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cos∠BCD=•（1）求证：CD∥BF；•（2）求⊙O的半径；•（3）求弦CD的长.34FADEOCB•【练习】（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4，•求证：（1）△ABE∽△ADB；•(2)求AB的长；•(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．FDOCEBA模型七：过弧的中点的半径垂直于弦的问题•【例7】．△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.•（1）求证：CD为⊙O的切线；•（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。AFEFCFCB•【练习1】如图，AB是⊙O上的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F.∠ADO=∠B.•（1）求证：CF为⊙O的切线；•（2）求sin∠BAD的值.DAOFECB•【练习2】(2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E是弧BD的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。•（1）求证：AC与⊙O相切；•（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长OFHEDCBA模型八：综合性的问题•【例8】．（2012•十堰）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．•（1）求证：BD是⊙O的切线；•（2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形；•（3）作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求的值．•【练习1】（2011•桂林）如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．•（1）求证：D是弧AE的中点；•（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；•（3）若，且AC=4，求CF的长．•【练习2】（2012•成都）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．•（1）求证：KE=GE；•（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；•（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=2，求FG的长．3