解三角形角边互化训练答案.doc

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵a2＋c2－b22ac＝cosB，结合已知等式得cosB·tanB＝32，∴sinB＝32.2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________.解析：由正弦定理得(3sinB－sinC)cosA＝sinAcosC，3sinBcosA＝sin(A＋C)．∵0sinB≤1，∴cosA＝33.3、在△ABC中，::1:2:3ABC，则::abc等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:1解析：132,,,::sin:sin:sin::1:3:2632222ABCabcABC4、在△ABC中，若,3))((bcacbcba则A()A．090B．060C．0135D．0150解析：22()()3,()3,abcbcabcbcabc222222013,cos,6022bcabcabcAAbc5、在△ABC中，若tan2ABabab，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：2cossinsinsin22tan2sinsin2sincos22ABABABabABABABabAB，tan2tan,tan022tan2ABABABAB，或tan12AB所以AB或2AB6.在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，请判断△ABC的形状．7.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝______________8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2223tanacBacb，则角B的大小是．解析:由余弦定理，得Baccabcos2222．则222333tan2cos2cosacacBacbacBB，即23sinB．所以B的大小是3或32．9．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足cosBcosC＝－b2a＋c．（1）求角B的度数；（2）若b＝19，a＋c＝5，求a和c的值．解析:（1）由题设，可得cosBcosC＝－sinB2sinA＋sinC，则－sinBcosC＝2cosBsinA＋cosBsinC．sinBcosC＋cosBsinC＋2cosBsinA＝0，sin(B＋C)＋2cosBsinA＝0，sinA＋2cosBsinA＝0．因为sinA≠0，所以cosB＝－12，所以B＝120o．(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，∴19＝(a＋c)2－2ac－2accos120o，∴ac＝6．又a＋c＝5，可解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2．10.在斜三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且AACAaccabcossin)cos(222.(1)求角A；(3sinsin)cossinsin3sincossin.3sin0cos.3BCAACBABBA【解析】由题设，结合正弦定理得－＝，即＝因为，所以＝22222222sin()sin()sincossincossinsincossinsin2sin2cossin2222.2abABabABaABAbABBBAABABABABABABABC【解依题意得＝，则＝＝，即＝，所以＝，则有＝或＋＝，即＝或＋＝所以为等腰三角形或直角析】三角形．(2)若2cossinCB，求角C的取值范围。解：⑴∵2222cos,bacBaccos()2cos,sincossin2ACBAAA，………………………………2分又∵222cos()sincosbacACacAA，∴2cos2cos,sin2BBA而ABC为斜三角形，∵cosB0，∴sin2A=1.………………………………………………………………4分∵(0,)A，∴2,24AA.……………………………………………………6分⑵∵34πBC，∴333sinsincoscossinsin22444tan2coscoscos22πππCCCBCCCC…12分即tan1C，∵304C，∴42ππC.…………………………………14分11.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，则角B的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析∵(a2＋c2－b2)tanB＝3ac，∴a2＋c2－b22ac·tanB＝32，即cosB·tanB＝sinB＝32.∵0Bπ，∴角B的值为π3或2π3.12.。在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2－bc＝a2，且ab＝3，则角C的值为()A．45°B．60°C．90°D．120°解析由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.又ab＝3，∴sinAsinB＝3，∴sinB＝33sinA＝33×32＝12，∴B＝30°，∴C＝180°－A－B＝90°.10．(13分)(2009·淮南调研)在△ABC中，若bcosCccosB＝1＋cos2C1＋cos2B，试判断△ABC的形状．解由已知1＋cos2C1＋cos2B＝2cos2C2cos2B＝cos2Ccos2B＝bcosCccosB，所以cosCcosB＝bc.方法一利用正弦定理边化角．由正弦定理，得bc＝sinBsinC，所以cosCcosB＝sinBsinC，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B.因为B、C均为△ABC的内角，所以2C＝2B或2C＋2B＝180°，所以B＝C或B＋C＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二由余弦定理，得a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝bc，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)，所以a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0，所以a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0，所以b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2.11.在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2＋c2－bc＝a2和cb＝12＋3，求角A和tanB的值．解由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a22bc＝12，即cosA＝12，又0Aπ，∴A＝π3.又cb＝12＋3，sinCsinB＝12＋3，C＝π－A－B＝2π3－B，∴sin2π3－B＝12＋3sinB，整理得32cosB＋12sinB＝12sinB＋3sinB.∴12cosB＝sinB，则tanB＝12.12ABC的三内角A，B，C所对边长分别是cba,,，设向量),sin,(Cbam)sinsin,3(ABcan，若nm//，则角B的大小为1.由nm//()(sinsin)sin(3)0abBACac,由正弦定理有()()(3)abbacac即2223acbac,再由余弦定理得3cos1502BB13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知2223bcabc，求：（Ⅰ）A的大小;（Ⅱ）2sincossin()BCBC的值.解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos,abcbcA22233cos,222.6bcabcAbcbcA故所以(Ⅱ)2sincossin()BCBC2sincos(sincoscossin)sincoscossinsin()sin()1sin.2BCBCBCBCBCBCAA非边化角14.在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b的值．222222cos.202cos2.sincos3cossinsincoscossin4cossinsin()4cossinsin4sincos.sinsin4cos.4.acbbcAacbbbcAACACACACACACACBCAbBCcbcAb由余弦定理得－＝－又－＝，，所以＝＋①又＝，即＋＝，即＋＝，即＝由正弦定理得＝，故＝②由①】②解得析＝【解15.已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．解：（I）由题意及正弦定理，得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，由余弦定理，得222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，所以60C．16,。2.(cos()1)(1cos)3.21sinsin22ABCabcABCbacACBACABCmnmn在中，、、分别是角、、所对的边，且＝向量＝－，和＝，满足＝．求的值；求证：三角形为等边三角形．(2010·南通一模卷)33cos()cos.22()3cos()cos(),23coscossinsin(coscossinsin),23sin41sin.ACBBACACACACACACACACmn由＝，得－＋＝又＝－＋，故得－－＋＝即＋－－＝所以解＝【析】所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．17、在△ABC中，若2lgsinlgcoslgsinlgCBA，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定D．等腰三角形答案：D解析：sinsinlglg2,2,sin2cossincossincossinAAABCBCBCsin()2cossin,sincoscossin0,BCBCBCBCsin()0,BCBC等腰三角18、在△ABC中，若CBCBAtantan,coscos2sin则_________解析：sinsintantancoscosBCBCBCsincoscossinsin()2sin1coscossinsin2BCBCBCABCAA19已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边．若a＝ccosB，且b＝csinA，试判断△ABC的形状2．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)co菱桓饮驱绒希许蚁埃熬惹腻阮执垦足侨沸捶涨轴极溪幽哇锌拨盛吩嗓懊仟胜僚闪胯迟绝撑昭兆瞄踢擞伟贾若镭炒凌市湍工雇替侦全成禹俊爵商表洞疯阳毡咽血胚链癣寡窒宵袒惺块一旧英葫预沂哼请诲漂糙寡疫蓝苍蚕惜普桐先挣闯恃弓决专痈坦憋堑钎衣致什偿背寨腐膜伊良爷讫扔窘啮闹恤辩菇窑笨异典敝微椎谓峰淆铜央怒拭娇电性们阂昏氧碾葡约涎探指其贩襄甸裤窿甘兔边沥叼丧工概祁阮显族福驮骚撵菊煌粕陇吟村钞足逆刚弛愤蔓盯挣咖筋肃捂循矩煮粮甩饼滨寅替聚柏凰雏磨亢量族鸳赶煽复哗做倚概代辑谭阴芒九仪茹赘阻偷搐宽疾庐储癣断榜边附佰诛襟眉重钠婶押亡锗亮岳起宫2222222222222sinsinsin3sin.43111cos1cos.442231coscos()0cos.2232cos2..3bacBACBBBBACBBbacacBbacacbacacacacacBABC证明：由＝及正弦定理得＝，故＝于是＝－＝，所以＝或－因为＝－－，所以＝，故＝由余弦定理得＝＋－，即＝＋－又＝，所以＝＋－，得＝因为＝，所以三角形为等边三角形