)积分中值定理的推广和应用情形

第1页（共12页）积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形TheIntegralMeanValueTheoremforItsSpreadingandApplication——Extensiontheoremofintegralmeanvaluetheoremanditsapplication论文作者：专业：指导老师：完成时间：第2页（共12页）摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。Theintegralmeanvaluetheoremandthedifferentialmeanvaluetheoremplayanimportantroleinthecalculus.Differentialmeanvaluetheoremisapowerfultooltostudythefunction.Itreflectstherelationbetweenthelocalpropertyofthederivativeandtheintegralofthefunction.Andtheintegralmeanvaluetheoremplaysaveryimportantroleintheproofofthemeanvalueproblem.Itisoneofthebasictheoremsofthedefiniteintegralpartinthecourseofmathematicalanalysis.Theintegralmeanvaluetheoremincludesthefirstmeanvaluetheoremofintegralsandthesecondmeanvaluetheoremofintegrals,wehavelearnedtheproofofthetwotheoremsInthecourseofmathematicalanalysis.Buttheextensionandapplicationofthesetwotheoremshavenotbeenmentionedyet.Here,IdiscussthefirstmeanvaluetheoremofintegralsandthesecondmeanvalueoftheintegralsandgiveadetailedproofofthesetheoremsandIgivetheformofcentralizedgeneralizationshere.Intheapplicationoftheintegralmeanvaluetheorem,Igivesomesimplesituationssuchastheestimationoftheintegralvalue,andthelimitofthedefiniteintegral,theintegralnumberandsoon.Andbycitingexamples,Isummarizedandfullyreflecttheintegralmeanvaluetheoremintheapplicationoflearningproblemsolvingexercises.关键词：积分中值定理；推广；应用Keyword:meanvaluetheoremofintegrals;extension;Application第3页（共12页）1引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。积分中值定理分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。本文将通过对积分中值定理的证明，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,加深对这一定理的更深层次的理解。2积分中值定理的证明2.1积分第一中值定理定理1若()fx在,ab上连续，则至少存在一点,ab，使得()()()bafxdxfba.证由于()fx在,ab上连续，因此存在最大值M和最小值m.由(),,mfxMxab，使用积分不等式性质得到()()bambafxdxMba，或1()bamfxdxMba.再由连续函数的介值性，至少存在一点,ab，使得1()()baffxdxba，即有()()bafxdxfba.定理2若()fx在,ab上连续，则至少存在一点,ab，使得()()()bafxdxfba.第4页（共12页）证由于()fx在,ab上连续，从而()fx在,ab上可积。设其原函数为()Fx，则根据原函数存在定理可知，()Fx在,ab上连续，且()Fx在,ab上可导，由拉格朗日中值定理知存在一点,ab使得，()()'()FbFaFba则得()()bafxdxfba.显然定理2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理叙述成定理2的形式更好一些。2.2积分第二中值定理积分第二中值定理则比积分第一中值定理更为精细,下面我同样会给出积分第二中值定理与其证明。定理3若()fx在,ab上可积，()gx在,ab上单调且在,ab上连续，那么存在一点,ab，使得()fx在,ab上可积()()()()()()bbaafxgxdxgafxdxgbfxdx.1证假设()gx在,ab上单调减少且非负，将区间,ab分成几部分，即012;naxxxxb而1(1,2,)kkkxxxkn，记max{}kx则：1101()()lim()(),,,kknbxkkkkaxkfxgxdxgfxdxxx由于()gx在,ab上单调减少且非负，即12()()()0nggg11inf()()()sup()kknxxxkaxaaxbaxbkfudugfxdxfudu根据阿贝尔引理有：11()inf()()()()sup()xbxkkaaaaxbaxbgfudufxgxdxgfudu当0时，有1()()gga即：第5页（共12页）()inf()()()()()supxbxaaaaxbaxbgafufxgxdxgafudu，所以，当()gx0时有：()0ga时成立的）1inf()()()()()supxbxaaaaxbaxbfufxgxdxfuduga，而当()0ga时也成立。由介质定理知连续函数()bafudu在,ab上某点处取得上、下确界之间的中间值即：()()()()baafxgxdxgafxdx（2）令()()()Gxgxgb，由于()gx单调减少且非负，由（2）得：()()()()()()()(),bbaaafxGxdxfxgxgbdxgagbfxdx即()()()()()()()bbaaafxGxdxgbfxdxgagbfxdx()()()(),,bagafxdxgbfxdxab如果()gx在a,b处不一定连续，则公式(1)可改写成：()()(0)()(0)().bbaafxgxdxgafxdxgbfxdx如果()gx在,ab上具有连续导数，()fx在,ab上连续则上述定理可用一个比较简单的方法证明，在证明的过程中主要使用分布积分法和积分第一中值定理。证由于()fx在,ab连续，则()()xaFxfx为其原函数，现对()()bafxgxdx使用分布积分，其中令()(),()()()()()(),bbaauxgxvxFxfxgxdxgxdFx对()()baFxdgx使用积分第一中值定理()()()()bbaaFxdgxFdgx，所以()()()()()()()bbaaafxgxdxgbfxdxgbgafxdx()()()()()baaagbfxdxfxdxgafxdx第6页（共12页）()()()(),,.bagafxdxgbfxdxab3积分中值定理的推广3.1积分第一中值定理的推广定理4（定积分中值定理的推广）若()fx在闭区间[,]ab上连续且单调，则在开区间(,)ab上存在唯一一点使得()()()bafxdxfba。定理4是在加强了定理1和定理2的条件的基础上得到的。证利用微分中值定理来证明，令()()xaxfxdx，因为()fx在[,]ab上连续，所以()x在[,]ab上连续，在(,)ab内可导，而且()x()fx，应用拉格朗日微分中值定理可得，在在(,)ab内至少存在一点使()()()()baba即()()()(),,baaafxdxfxdxfbaab亦即()()(),.bafxdxfbaab定理5（定积分第一中值定理的推广）如果函数()fx、()gx在闭区间[,]ab上可积，且()gx在[,]ab上不变号,()fx连续，则在积分区间(,)ab上至少存在一个点，使下式成立：()()()()bbaafxgxdxfgxdx。证由于函数()fx在闭区间[,]ab上是可积函数，()gx在[,]ab上可积且不变号，令()()(),()()xxaaFxftgtdtGxgtdt，很显然，()Fx和()Gx在[,]ab上连续。并且()(),()0.()(),'()()(),'()()bbaaftgtdtGaGbgtdtFfgGg由柯西中值定理即可得到()()'(),(,)()()'()FbFaFabGbGaG第7页（共12页）即()()()(),()()babaftgtdtfgggtdt()()()(),(,)bbaaftgtdtfgtdtab，定理5即证。注：定理5的逆命题为：若函数()fx在[,]ab上连续且严格单调，且()gx在[,]ab上可积且不变号，则任意的一点,ab，必存在,,ab，使得,，且满足()()()()bbaafxgxdxfgxdx3.2积分第二中值定理的推广定理6如果函数()gx在闭区间[,]ab上有界且L可积，且()fx在[,]ab上单调，则()()fxgx也L可积，且在积分区间[,]ab上至少存在一个点，使下式成立：()()()()()()bbaafxgxdxfagxdxfbgxdx。证因为()gx在[,]ab可积，()fx在[,]ab上单调，故()()fxgx在[,]ab有界且可测，所以()()fxgx在[,]ab上可积。下证()()()()()()bbaafxgxdxfagxdxfbgxdx。（1）()gx在[,]ab上连续的情形。令()()xaGxgtdt，则'()()Gxg