计算水力学--主要内容讲解

本课主要内容水文09级计算水力学教学课件Leilafor水文09版权所有绪论明渠一维非恒定流的基本方程有限差分的基本理论河道水流计算河网水流计算本课主要内容第二章非恒定流基本方程水文09级计算水力学教学课件Leilafor水文09版权所有基本假设与定律•六条基本假设•两大基本定律基本方程•连续方程•动量方程本章要点方程的其他形式•Z，Q为因变量•Q，h为因变量•Q，A为因变量•U，h为因变量•U，Z为因变量漫洪滩地的处理•动量校正系数•调蓄滩地宽度Leilafor水文09版权所有§1.基本假设与定律1、定床情况，即假设河床高程与时间无关。2、断面代表水位，不考虑横比降。3、浅水问题，满足静水压力分布规律。4、水为不可压液体。5、河床底坡很小。6、恒定流阻力公式仍然适用。基本假设Leilafor水文09版权所有§1.基本假设与定律质量守恒定律：单位时间内通过控制面流进控制体的净质量，等于同时段内控制体的质量增量。基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律Leilafor水文09版权所有§1.基本假设与定律动量守恒定律：单位时间内通过控制面流进控制体的净动量与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段内控制体的动量增量。基本定律—动量守恒定律Leilafor水文09版权所有§2.基本方程lAQqtx圣维南方程组：连续方程、动量方程一般情况下：Vx=00flxQhQugAgASSqVtxxLeilafor水文09版权所有§3.方程的其他形式及问题讨论方程的其他形式•Z，Q为因变量•Q，h为因变量•Q，A为因变量•U，h为因变量•U，Z为因变量漫洪滩地的处理•动量校正系数•调蓄滩地宽度不同的研究目的，对圣维南方程组的变换形式问题关键：滩地、主槽一起计算Leilafor水文09版权所有动量校正系数α漫洪滩地的处理调蓄滩地宽度•反应河道断面流速分布均匀性系数Leilafor水文09版权所有§4.定解条件及定解问题定解问题：基本方程、定解条件定解条件：初始条件、边界条件定解问题的适定性：解的存在性、唯一性和稳定性。定解条件少了：定解条件多了：定解条件适当：欠定过定适定Leilafor水文09版权所有变量在所确定的线上为常数dxdtu定解条件对流方程0uutxdxdt0duudxutxdtdt特征值特征线Leilafor水文09版权所有拟线性双曲型偏微分方程组20QAtxQAQStx定解条件tx'UUSJ22012cuuJ12ucucLeilafor水文09版权所有圣维南方程的定界条件S-V方程的定解条件12ucuc120012001200急流缓流反向急流Leilafor水文09版权所有圣维南方程的定界条件及组合情况缓流急流Leilafor水文09版权所有洪水波的分类描述河道一维水流运动的圣维南方程组：•运动波•惯性波•扩散波•动力波000fZQBtxQhQugAgASgAStxxLeilafor水文09版权所有运动波水位流量之间呈单一关系下游扰动不影响上游断面波形传播波峰不变无耗散0fgAS0∂Q∂∂hQugA∂t∂x∂gxAS++0fS0SLeilafor水文09版权所有惯性波忽略摩阻项假定底坡水平棱柱形河道00gAS∂Q∂∂hQugA∂t∂∂gASxxf0∂Q∂∂hQugA∂t∂x∂x不计摩阻损失，波动在传播过程中只有能量的转换，无能量损失。Leilafor水文09版权所有扩散波扩散项的存在所以洪水波的波峰会逐渐坦化。00fhgAgASgASx∂Q∂Qu∂t∂x00fhSSxZZMax绳套形水位流量关系QQMax0011QQS∂h∂x涨水落水Leilafor水文09版权所有水位或流量在短期内有大幅度的变化时：动力波运动波、惯性波和扩散波是动力波的特殊情况感潮河道中的水流运动闸门启闭引起的水流波动这种情况下，动量方程式中的各项均不能忽略，这样一种波动称为动力波。动力波是所有波动中最复杂的，只能用完全的圣维南方程组描述。Leilafor水文09版权所有洪水波的简化方法—水库调洪演算一般情况下f(Q)的函数关系为非线性，难于用显式表达，故常用图解法或试算法求解。连续方程式严格满足，并写成差分形式假定水库蓄水量与出流量之间存在一定的函数关系，即V＝f(Q)Leilafor水文09版权所有基本假定：马斯京根法假定河段槽蓄量V与出流量Q及入流量I之间存在着线性关系式中:K和ｘ为经验系数,且0≤x≤0.5V＝K[xI+(1–x)Q]洪水波的简化方法—马斯京根法连续方程式严格满足第三章有限差分的基本理论水文09级计算水力学教学课件Leilafor水文09版权所有差分、差商、差分方程截断误差和离散误差相容性、收敛性和稳定性LAX等价定理差分方程的数值效应逆风效应与逆风格式本章要点Leilafor水文09版权所有§1.偏导数的差商近似差分、差商的基本概念ufx00limlimxxuxxuxduudxxx解析函数：导数定义：差分：差商：ux、uxLeilafor水文09版权所有通过对差商近似点（i，j）的Taylor展开，可以分析差商对偏导近似的精度§1.偏导数的差商近似—Taylor展开法例边界处偏导数的差商近似对点(0,j)进行Taylor展开Leilafor水文09版权所有§1.偏导数的差商近似—Taylor展开法Leilafor水文09版权所有构造一阶偏导数的二阶精度的差商近似必须有§2.偏导数的差商近似—Taylor展开法12α+2α=112α+4α=01220.5解得：可得：构造二阶偏导数的差商近似必须有12α+2α=012α+4α=21221解得：可得：Leilafor水文09版权所有•偏导数用其差商近似来代替•偏微分方程转变为相应的代数方程称之为差分方程。§3.差分方程对流方程定解条件00001,()(,)()txuuCtxtxuxtfxuxtgt，0Leilafor水文09版权所有§3.差分方程—定解问题蛙跳格式ijj-1i+1i-1j+1ijj+1i+1FTFS格式FTBS格式i-1jj+1iFTCS格式i-1ii+1jj+1Leilafor水文09版权所有§3.差分方程—定解问题1jiQjiQ11jiQ1jiQjj+1i+1i11111111102jjjjjjjjiiiiiiiiQQQQQQQQutxLeilafor水文09版权所有显式格式：由第j时间层上的值，可直接算出第j+1时间层上的值的格式。隐式格式：不能直接从j时间层上值直接解出，需联立求解j+1层上的值的格式。§3.差分方程—定解问题对同一个定解问题，可以有多种差分格式，多种步长参数来近似，从而也得到若干个差分近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问题的近似解？那些解精度高？为什么？相容性、稳定性及收敛性分析Leilafor水文09版权所有§4.截断误差和相容性以FTBS格式为例等价方程截断误差Leilafor水文09版权所有相容性是收敛性的必要条件，稳定性与收敛性有一定的联系。Lax等价定理阐述相容性、收敛性和稳定性三者之间关系。§7.Lax等价定理Lax等价定理:对一个适定的线性微分问题及一个与其相容的差分格式，如果该格式稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分的条件。Leilafor水文09版权所有§6.稳定性vonNeumann分析稳定性数值试验{Leilafor水文09版权所有§6.稳定性—vonNeumann稳定性分析0,0()uuCtxuxfx111jjjiii定解问题误差传播方程误差展开成傅氏级数G为放大因子1iktGejjikxkkxCeFTBS格式稳定条件241sin02kxLeilafor水文09版权所有§6.稳定性蛙跳格式稳定条件FTBS格式稳定条件FTCS格式为不稳定格式FTFS格式稳定条件01221sin1Gkx1011马斯京根法稳定条件00.500.5Leilafor水文09版权所有微分方程是描述物理量在时间和空间上的连续变化的规律。差分方程来描述离散化后物理量的变化规律。离散误差使原系统的物理性质和规律遭到歪曲和破坏的作用称为数值效应或离散近似的伪物理效应。必须对这些效应有明确的概念，从物理上来考虑数值格式的合理性，减少数值效应的影响。§8.差分方程数值效应Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—数值耗散与弥散FTBS格式FTFS格式FTCS格式蛙跳格式马斯京根格式222212,2MxQQQOtxtxxLeilafor水文09版权所有物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现象，称为“逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。§8.差分方程数值效应—“逆风”效应“逆风”效应采用何种格式还与波速的方向有关，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式FTCS格式：二阶精度，无条件不稳定的。FTFS格式：一阶精度，当C为负时采用。FTBS格式：一阶精度，当C为正时采用。Leilafor水文09版权所有§8.差分方程数值效应—“逆风”效应“逆风”格式1111102jjjjjjjiiiiiiiuuCuuuutx110jjjjiiiiuuuuCtxFTBS:110jjjjiiiiuuuuCtxFTFS:1212singjiC第四章河道水流计算水文09级计算水力学教学课件Leilafor水文09版权所有课程内容蛙跳格式LAX-Wendroff格式Abbott隐式格式Presissmann隐式格式四点线性隐格式内边界处理Leilafor水文09版权所有Preissmann隐式格式nn+1j+1jxt四点线性隐格式Leilafor水文09版权所有四点线性隐格式离散连续方程Leilafor水文09版权所有动量方程四点线性隐格式离散Leilafor水文09版权所有为书写方便，忽略上标n+1，任一河段差分方程写成：四点线性隐格式离散追赶法求解Leilafor水文09版权所有1、水位边界条件的计算2、流量边界条件的计算3、水位流量关系边界条件的计算000222222LLLLLLQfZfZfZZZ追赶法求解Leilafor水文09版权所有在河道水流计算中，除了外部边界条件外，还可能遇到内部边界条件。内部边界条件是指：河道的几何形状的不连续或水力特性的不连续点。例如，集中入流，过水断面突然放大，堰闸过流等等。内边界处，圣维南方程组不再适用，必须根据其水力特性作特殊处理。内部边界条件通常包含两个相容条件，即流量的连续性条件和能量守恒条件(或动量守恒条件)。内边界的处理Leilafor水文09版权所有内边界的处理ii+1Qi+1Qi断面突变情况QfQiQi+1Δxi=0面积Aii+1ZiZi+1ii+1Leilafor水文09版权所有对于内边界的处理归结于特殊河段的追赶系数计算。计算依据的是特殊河段的相容方程(水量守恒与动量守恒，这些方程与非恒定流的基本方程无关)，对相容方程进行必要的处理，单独