第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵分解

第三章内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵第1节欧氏空间、酉空间定义1.1:设V是实数域R上的n维线性空间，定义如下法则，称为内积。,V(,)R如果有，(1)(,)(,)(2)(,)(,),kkkR(3)(,)(,)(,)(4)(,)0,0(,)0当且仅当时＝那么称V是n维欧几里得空间，简称欧氏空间。欧氏空间的性质(1)(,)(,)kk(2)(,)(,)(,)11(3)(,)(,)ssiiiiiikk11(4)(,)(,)ssiiiiiikk定义1.2:设V是复数域C上的n维线性空间，定义如下法则，称为内积。,V(,)C如果有，(1)(,)(,)(2)(,)(,),kkkC(3)(,)(,)(,)(4)(,)0,0(,)0当且仅当时＝那么称V是n维复欧氏空间，简称酉空间。复数域与实数域条件稍有区别，即引入了共轭运算。酉空间的性质(1)(,)(,)kk(2)(,)(,)(,)11(3)(,)(,)ssiiiiiikk11(4)(,)(,)ssiiiiiikk综合起来说，酉空间的性质均适用于欧氏空间，而欧氏空间的性质并不完全适用于酉空间。设V是一酉空间，它的基是12,,,n12121(,,,)nniiinxxxx12121(,,,)nniiinyyyy＝,1(,)(,)nijijijxyijg111212122212nnnnnnggggggGgggXY(,)TXGY()TGG度量矩阵1(,)(,)jiijgg由定义中法则得定义1.3:复共轭转置矩阵THAA复共轭转置矩阵性质(1)HTAA(2)()HHHABAB(4)()HHHABBA(5)()HHAA(3)()HHkAkA11(6)()(),0HHAAifA(7)()HTmnAAifAR(8)det()?HAdet()A欧氏空间中的转置对应于酉空间中的复共轭转置，所以，欧氏空间中的很多定理可以通过把转置替换为复共轭转置的方式迁移到酉空间中去。12,,,n1212(,,,)(,,,)nnP度量矩阵A设V是一酉空间，那么不同基下的度量矩阵之间的关系是：12,,,n度量矩阵BTTHTBPAPorBPAP(,),V定义1.5:设V是酉（欧氏）空间，定义长度为V长度的性质(1)0,00(2),kkkC(3)(4)(,)非负性齐次性三角不等式柯西许瓦兹三角不等式(,),V欧氏空间，酉空间这两类空间之所以被提出，是为了将度量概念引入线性空间中，所以需要关注度量的基本性质。向量的夹角、距离、单位向量(,)cos(,)(,)d1向量的单位化向量的夹角向量的距离单位向量1例3.1.1~例3.1.7第2节标准正交基、Schmidt正交化方法定义2.1:设V是酉（欧氏）空间，对若,,V(,)0＝那么称向量正交，记为,正交向量组：向量组内的向量两两正交。i标准正交向量组：若正交向量组中的向量都是单位向量的话，则说向量组是标准正交向量。标准化的过程如果一组向量不仅正交，而且自己与自己的内积为1，那么称这样的向量组为标准正交向量组。在解析几何中，垂直是一个非常重要的概念。当两个向量垂直时，他们的内积为零。在内积空间中引入了相似的概念，当两个向量的内积为零时，称这它们为正交向量。进一步拓展，可以得到正交向量组的概念。正交向量组的性质：向量组是正交向量组i(,)0,()ijij＝向量组是标准正交向量组i1,(,)0,ijijijij＝=零向量和任意向量正交，反之和任意向量正交的向量必是零向量定理2.1:不含零向量的正交向量组是线性无关的120nkkk12n设：+++＝(,12n,,)12(,jnkkk12n+++)1(,)nijiik＝0＝(,jjjk)＝01,2,,jjkkjn＝0,即＝0,()正交向量组线性无关那么线性无关向量组是否正交呢？否(,jiij)＝0(时)线性无关组的正交化：(,12r,,)线性无关11(1):＝2122111(,)(2):(,)＝313233121122(,)(,)(3):(,)(,)＝121121112211(,)(,)(,)():(,)(,)(,)rrrrrrrrrr＝(,12r,,)正交rr(,1221,,)标准正交正交基，标准正交基定义2.1:设V是n维酉（欧氏）空间，由n个正交向量组成的基，称为正交基，由n个标准正交向量组成的基，称为标准正交基。,1,2,,iin因此，可以分析求解内积空间的标准基的问题。正交向量组是无关向量组。既然是无关的，那么自然而然可以想到，拿他们来构成线性空间的一组基，这组基称为标准正交基。正交基，标准正交基目的:引入标准正交基的好处是使得度量矩阵变为单位矩阵，在很多计算问题中可用以简化运算。从线性空间的任何一组基出发，可以采用Gram-Schmidt正交化方法构造出一个标准正交基。例题：3.2.1~3.2.2习题：第3节酉变换、正交变换由标准正交向量组构成的矩阵具有什么性质呢？定义3.1:nnACHHAAAAE正交矩阵酉矩阵nnARTTAAAAE1(1),HAA(2),det1AnnAUnnAE(3),TnnAU(4),,,nnnnifBUthenABBAU1(1),TAA(2),det1A(3),TnnAE(4),,,nnnnifBEthenABBAE换种说法，就是矩阵的逆等于它的复共轭转置。由此可见，对于这类矩阵，求逆矩阵是十分方便的。HHAAAAETTAAAAE正交矩阵酉矩阵111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa定理3.1，矩阵A是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A的n个行或（列）向量都是标准正交向量。定义3.2:酉变换、正交变换设V是n维酉空间，是V的线性变换，如果(),(),,V，则称是V的酉变换。设V是n维欧氏空间，是V的线性变换，如果(),(),,V，则称是V的正交变换。正交变换和酉变换的实质是内积空间中不改变向量内积结果的线性变换，也就是说变换前后度量不会发生改变，在解析几何中就是指长度不变，比如平移，旋转等操作就具有度量的不变性。。酉变换（正交变换）的性质：定理3.2:下列命题等价：(1)称是V的酉变换（正交变换）(2)(),V(3)将V的标准正交基变为标准正交基(4)酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（正交矩阵）例题3.3.1~3.3.3第4节幂等矩阵简单说来就是平方等于本身的矩阵。定义：设，如果满足则称是一个幂等矩阵。nnACA2AAA幂等矩阵例:是一个分块幂等矩阵。(),rnnrnrEMACMCOO这类矩阵有个特殊的性质，就是其特征值非零即1。并且与它相关的很多矩阵也具有特殊性质，比如它的转置，复共轭转置也都是幂等矩阵等。幂等矩阵的一些性质：设是幂等矩阵，那么:（1）都是幂等矩阵；（2）（3）（4）的充分必要条件是（5）A,,,,THTHAAIAIAIA()()0AIAIAA()()NARIAAxx()xRA()()nCRANA定理4.2：A定理4.1：设是一个秩为的阶矩阵，那么为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在使得，nrAnnnPC1rEOPAPOO推论：设是一个阶幂等矩阵，则有()()trARankAAn投影变换定义4.2：设是的子空间，，则对任意的都有,STVVSTV,xy,xSyT那么称是沿至的投影xTS称是沿至的投影yTSxyTS,:STVS,()STx,:nnSTVC,()STx投影变换投影映射有降维的投影对应于投影映射，没有降维的投影对应于投影变换。将一个空间中的向量唯一的表示为其两个互补子空间中的向量之和，这时称其中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补子空间到本子空间的投影。如果对应的操作是线性映射，就称之为投影映射，如果对应的操作是线性变换，就称之为投影变换。定理4.3：上的线性变换是上的投影变换的充要条件是V(),()SRTN()()VRN即V它的矩阵表示是幂等矩阵，它的值域和核空间的交集是零空间。定理4.4：上的线性变换是上的投影变换的充要条件是V2V设是上的投影变换，则的矩阵表示A是幂等矩阵V正交补定义4.3：设是（n维空间）的子空间，若对任意的和都有则称是正交的，记为,STVxSyT(,)0xyST和ST定理4.5：设是（n维空间）的两个正交子空间，那么,STV0ST（1）（2）dim()dim()dim()STSTST定义4.4：设是（n维的）的两个正交子空间，那么称为S和T的正交和，记为,STVST定理4.6：设（或），那么,mnACmnAR()()()HnnNARACR或（2）()()()HnnRANACR或（1）•前面讲到的直和补（定义1.3.1P17），是指两个子空间的交集为零空间，•更进一步，如果两个子空间还是正交的，这个时候称为正交补，由此可以引申出正交和的概念。•既然正交补是强化的直和补，自然直和补的性质就都适用于正交和了。则称S为T的正交补，记为定义4.5：设是（n维空间）的两个子空间，满足,STVTSTVS定理4.7：设是（n维空间）的个子空间，则存在唯一的子空间TVSTV即，子空间的正交补是唯一的！例题3.4.1~3.4.2正交投影定义4.6：设（n维），对任意的VSTVxy其中，定义线性变换为,xSyT:VV()x那么在下的矩阵表示为定理4.8：设为到正交投影。SV121,,,,,,rrnuuuuunC的标准正交基12,,,ruuuS的标准正交基121,,,,,,rrnuuuuu11HsPUU112(,,,)nrrrUuuuC命：换句话说，如果投影到的两个互补子空间是正交的，那么，这种投影就成为正交投影。那么在下的矩阵表示为定理4.9：设为到正交投影。SnC121,,,,,,rrnuuuuunC的标准正交基12,,,ruuuS的标准正交基121,,,,,,rrnuuuuu11HsPUU112(,,,)nrrrUuuuC命：证明：P112次酉矩阵•正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。•什么是次酉矩阵？•就是行数大于列数，且各列可以组成标准正交向量组的矩阵。定义：设为一个维标准正交列向量组，那么称型矩阵12,,,rnnr112,,,rU为一个次酉矩阵。一般地将其记为1nrrUU定义4.7：次酉矩阵定理4.7：设为一个阶矩阵，则的充分必要条件是存在一个阶的次酉矩阵使得其中。An2HAAAnr1nrrUU11HAUU()rRankA引理：的充分必要条件是1nrrUU11HrrUUI