材料力学 弯曲内力概要

第四章弯曲内力第四章弯曲内力第一节对称弯曲的概念及梁的计算简图第二节梁的剪力与弯矩第三节剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图第四节弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系及其应用第五节按叠加原理作弯矩图一、弯曲的概念1、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。2、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为非对称梁3、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。4、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。§4.1弯曲的概念及梁的计算简图FFsFAFB纵向对称面二、梁的荷载及计算简图研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。2.梁的支座简化(平面力系)：a)活动铰支座b)固定铰支座c)固定端RFRyFRxFRyFRxFRM3.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁4.作用在梁上的荷载可分为:(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载§4.２梁的剪力与弯矩一、截面法求内力：切取、替代、平衡FABabASSAy0:0FFFFFbFMbFMMAAC0:0bAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFbFblFbFMblFbFMMABBC0:0①剪力—平行于横截面的内力，符号：，正负号规定：使梁有左上右下错动趋势的剪力为正，反之为负(左截面上的剪力向上为正，右截面上的剪力向下为正)；MMMMFSFSFSFS②弯矩—绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为正)。剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：剪力符号规定：弯矩符号规定：左上右下为正下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆)为正或使该段梁顺时针转动为正MMMMFsFsFsFs对未知的剪力、弯矩按正方向设定求图示梁1-1、2-2、3-3、4-4截面上的剪力和弯矩.例1BAɑɑɑɑP=qɑ11223344q解：由得MB0RqaA54由得MA0RqaB74MRaqaA1254M2MRaqaaqaA322322454qaMBAP=qɑFs3M3AP=qɑFs2M2M1Fs1ARAFs4M4qRBFs1RFsaA54Fs2RqaFsaA4Fs3Fs4qaRqaB34BAɑɑɑɑP=qɑq12123344RBRARARA)0(kN29030kN1502335.460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFMmkN26)5.12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025.15.15.1kN115.1B2B2SqFMFqF例2求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M通过上述计算可以看出，截面上的内力与该截面一侧杆上的外力相平衡，因而可以直接通过一侧杆段上的外力直接求得截面上的内力——外力简化法。符号如何确定？MllMlll:力的作用线至所求截面的距离MFsMFsmmFsFs左段右段11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/m再作例2：求图示简支梁1-1、2-2截面的剪力和弯矩.ABRARB解：由得MB0RA=15kN由得MA0RB=29kN请思考：RB还可如何简便算出？11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRARBRA=15kNRB=29kN根据1-1截面左侧的外力计算FS1、M1FS1=+RA-P=15-8=+7kNM1=+RA·2-P·(2-1.5)=15·2-8·0.5=+26kN·m根据1-1截面右侧的外力计算FS1、M1FS1=+(Fs·3)-RB=12·3-29=+7kNM1=-(Fs·3)·2.5+RB·4=-(12·3)·2.5+29·4=+26kN·m11221.5m1.5m1.5m3m2mP=8kNFs=12kN/mABRARBRA=15kNRB=29kN根据2-2截面右侧的外力计算FS2、M2FS2=+(Fs·1.5)-RB=12·1.5-29=-11kNM2=-(Fs·1.5)·1.5/2+RB·1.5=-(12·1.5)·1.5/2+29·1.5=+30kN·m根据2-2截面左侧外力计算FS2、M2,请自己完成!FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFxFxlFxFMxlFxFMMABBC0:0若将前面例题中确定尺寸b改为变量xbFlABFslABFabClABabClABM试列出下列各梁AB的剪力方程和弯矩方程,作剪力图和弯矩图。xxxxx)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程：2.剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。例1作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。§4.３剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图FxxMFxFs)()(剪力、弯矩方程：xFsFFlMFlMFFsmaxmax||||FlABFsM2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AAqxqLxqxxFxMqxqlqxFxFs822maxmaxqlMqlFs例2图示简支梁受均布荷载Fs的作用，作该梁的剪力图和弯矩图。qlABx解：1、求支反力FAFB2、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql8/2ql例3在图示简支梁AB的C点处作用一集中力F，作该梁的剪力图和弯矩图。由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。FabClAB解：1、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段s0)(0)(:AAxFAFBlxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段sBB)()(:FslFb/lFa/MlFab/由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。例4在图示简支梁AB的C点处作用一集中力偶M，作该梁的剪力图和弯矩图。abClABM解：1、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段s0)(0)(:AAxFAFBlxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段sBB)()(:FslM/MlMa/lMb/xFsFFlMFlABabClABMxFAFBFslM/MlMa/lMb/FabClABxFAFBFslFb/lFa/MlFab/FsMFslABxFAFB2/ql2/ql8/2ql机械xxFSFSFFFlFlFlABFlABFlABqlABqlABxxFAFBFAFB2/ql2/ql2/ql2/ql8/2ql8/2qlFabClABFabClABxxFSlFb/lFa/FSFSlFb/lFa/MlFab/MMlFab/abClABMabClABMxxFSlM/FSFSlM/MlMa/lMb/MMlMa/lMb/FabClABFabClABxxFSlFb/lFa/FSFSlFb/lFa/MlFab/MMlFab/MFSM土木由以上例题可总结以下几条：1、在集中力作用点，剪力图发生突变，弯矩图发生转折，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向。2、在集中力偶作用点，剪力图无变化，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。3、无载荷的梁段，剪力图为一平行于轴线的直线，弯矩图为斜直线。4、作用着均布载荷的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线。是普遍规律吗？例`PBALx简支梁受移动荷载P作用，试求梁的最大弯矩为极大时荷载P的位置.解：荷载P移至x截面处，Mmax(x)=P·x·(L-x)/L位置：x截面令dMcdx=0x=L/2时，Mmax=P·L/4跨中为最不利位置ARLxLPRA例作图示平面刚架的内力图.BCA20kN10kN3m2m解：xBC段FN=0FS=10kNM=-10·xkN·m(0≤x≤2)BA段xFN=-10kNFS=20kNM=-20-20·xkN·m(0≤x﹤3)一般将竖直杆的下端看作左端10kN轴力图剪力图10kN⊕⊕20kN20kNm弯矩图20kN·m80kN·m注意：•轴力正值画在外侧，负值画在内侧。•剪力正值画在外侧，负值画在内侧。•弯矩本教材画在受压侧，不标注正负。一般机械类教材弯矩图画在受压侧，土木类教材弯矩图画在受拉侧。一、剪力、弯矩和分布载荷间的微分关系1.假设：规定Fs(x)向上为正，向下为负；任取微段，认为其上Fs(x)为常数，无集中力、集中力偶；内力作正向假设。2.微分关系推导：§4.４弯矩、剪力与分布载荷集度间的关系yxMFq(x)ABxdxq(x)dxOM(x)Fs(x)M(x)+dM(x)Fs(x)+dFs(x))(d)(d0d)()(d)()(0xqxxFxxqxFxFxFFssssy：)(d)(d0d)(21d)()()(d)(02xFxxMxxqxxFxMxMxMMssO：)(d)(d22xqxxM载荷集度、剪力和弯矩的微分关系:d)d()Fs(xxqxd()d)MxxFs(xd()dd)d()22MxxFs(xxqx1.微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。2.各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：二、讨论微分关系的几何意义外力情况q0(向下)无荷载段集中力F作用处：集中力偶M作用处：剪力图上的特征↘(向下斜直线)水平线突变，突变值为F不变弯矩图上的特征上凸抛物线（机）斜直线有尖点有突变，突变值为M最大弯矩可能的截面位置剪力为零的截面剪力突变的截面弯矩突变的某一侧3.其它规律：①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。用直接法（控制点法）作剪力、弯矩图：1、梁上无分布荷载作用：q(x)=0剪力图斜率为零，为平行于X轴的直线。FsC0C0弯矩图斜率为常量C，为斜直线。MC0C02、梁上作用有均布荷载:q(x)=C由：)())()常量CxFs(xqdxxdFs(由：DCxxMCxFs(xxM)()d)(d由：DCxxFs(Cxq((dxxdFs()))剪力图斜率为q(x)=常量C为斜直线。（弯矩图为二次抛物线）顶点（极值点）：)(d)(d22xqxxM当0有极小值)(d)(d22xqxxM当0有极大值注意坐标方向不同，曲线开口方向不同FsFs﹤0Fs﹥0Fs﹤0Fs﹥0M由：EDxC