材料力学(土木类)第十二章 动荷载 交变应力(1)

一、静载荷与动载荷：载荷不随时间变化（或变化极其平稳缓慢）且使构件各部件加速度保持为零（或可忽略不计），此类载荷为静载荷。载荷随时间急剧变化且使构件的速度有显著变化（系统产生惯性力），此类载荷为动载荷。二、动响应：构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等），称为动响应。实验表明：在静载荷下服从虎克定律的材料，只要应力不超过比例极限,在动载荷下虎克定律仍成立且E静=E动。§12－1概述三、动荷系数：静响应动响应动荷系数dK四、动应力分类：1.简单动应力：加速度的可以确定，采用“动静法”求解。2.冲击载荷：速度在极短暂的时间内有急剧改变，此时，加速度不能确定，要采用“能量法”求之；3.交变应力：应力随时间作周期性变化，疲劳问题。stddK§12－2构件有加速度时动应力计算在构件运动的某一时刻，将分布惯性力加在构件上，使原来作用在构件上的外力和惯性力假想地组成平衡力系，然后按静荷作用下的问题来处理。计算采用动静法一、直线运动构件的动应力例12-1图示梁、钢索结构。起吊重物以等加速度a提升。试求钢索横截面的动应力和梁的最大动应力。FNdPagPaP解：(1)钢索的轴力：)1(0gaPagPPFagPPFNdNd(2)钢索横截面的动应力：)1()1(gagaAPAFstNdd令称为动荷因数，则gaKd1stddK梁的弯矩：4maxPlKMKMdstdd梁的最大动应力：WPlKWMddd4maxmax例12-2长度l=12m的16号工字钢，用横截面面积为A=108mm2的钢索起吊，如图a所示，并以等加速度a=10m/s2上升。若只考虑工字钢的重量而不计吊索自重，试求吊索的动应力，以及工字钢在危险点的动应力d,max(d)AB2.484m2.484m7.032mAa4mB2m2mCyz4m(a)于是，工字钢上总的均布力集度为)1(stdstgaqqqqgaqqstd解：将集度为qd=Aa的惯性力加在工字钢上，使工字钢上的起吊力与其重量和惯性力假想地组成平衡力系。若工字钢单位长度的重量记为qst，则惯性力集度为引入动荷因数gaK1d则stdqKq由对称关系可知，两吊索的轴力（参见图b）相等，其值可由平衡方程，NF0yF02stNlqF求得lqFstN21吊索的静应力为AlqAF2stN故得吊索的动应力为AlqgaK2)1(stdd(b)ABFNNFqst由型钢表查得qst=20.5kg/m=(20.5N/m)g及已知数据代入上式，即得MPa6.22101082)m12)(N/m81.95.20()m/s81.9m/s101(622d同理，工字钢危险截面上危险点处的动应力zWMgaKmaxmaxdmaxd,)1(由工字钢的弯矩图(图c)可知，Mmax=6qstN·m，并由型钢表查得Wz=21.210-6m3以及已知数据代入上式，得MPa115m102.21mN)81.95.206(02.236maxd,2qstM图（N·m)q6st(c)gLGRmmaFnNd/22惯性力：AFNd/)(2gGLFANd例12-3重为G的球装在长L的转臂端部，以等角速度在光滑水平面上绕O点旋转，已知许用强度[]，求转臂的截面面积（不计转臂自重）。②强度条件解：①受力分析如图:FNdLO二、转动构件的动应力:qd例12-4设圆环的平均直径D、厚度t，且t«D，环的横截面面积为A，单位体积重量为，圆环绕过圆心且垂直于圆环平面的轴以等角速度旋转，如图所示，试确定圆环的动应力，并建立强度条件。gADgAaqnd2222Dan解：①惯性力分析:ODt②内力分析如图图2qdFNdFNd02DqFdNd2242gADDqFGNd③应力分析2224vggDAFNddgvd2gv][④强度条件最大线速度：gv][max§12－3构件受冲击时动应力计算冲击物在冲击过程中减少的动能Ek和势能Ep等于被冲击构件所增加的应变能Vd，即εdpkVEE(a)计算采用能量守恒定律设重量为P的重物，从高度h自由落下，冲击到等截面直杆AB的B端。杆AB长度为l，横截面面积为A。B(c)PAstΔ(b)BAFddΔA(a)PBhl一、自由落体冲击问题则当冲击物速度降为零时，杆AB发生最大伸长d，则冲击物减少的势能为)(dpΔhPE(b)假设：1.冲击物变形与回弹可忽略。2.AB杆质量可忽略。3.冲击过程的能量耗散可忽略。而冲击物的初速与终速均为零，故0kE(c)杆内应变能2dεd2ΔlEAV(d)将(b)(c)(d)代入(a)得2dd2)(ΔlEAΔhP解出d的两个根，取其中大于st的那个根，即得)211(ststdΔhΔΔ引用记号)211(stdΔhK则stddΔKΔ(e)注意，即在静载P下AB杆的伸长，则上式可stΔEaPl022stdst2dhΔΔΔΔ简化成将上式两边乘以E/l后得stddK(1)当h0时，相当于P骤加在杆件上，这时2dK对于实际情况，以上计算是偏于安全的。例12-5已知：d1=0.3m,l=6m,P=5kN,E1=10Gpa,求两种情况的动应力。（1）H=1m自由下落；（2）H=1m,橡皮垫d2=0.15m,h=20mm,E2=8Mpa.HPPhld1d1d2解：（1）=0.0425mm11AEPlst218211stdHKMPaKstdd42.15(2)2211AEPhAEPlst=0.75mm,Kd=52.3MPaKstdd7.3stdKmgmv22221二、不计重力的轴向冲击：002/1121VVmvEk变形能势能动能冲击前：2/00222ddKPVVE变形能势能动能冲击后：冲击前后能量守恒，且stddststddKmgPPKF)(vmg动荷系数stdgvK2例12-6一下端固定、长度为的铅直圆截面杆AB，在C点处被一物体G沿水平方向冲击（图a）。已知C点到杆下端的距离为a，物体G的重量为P，物体G在与杆接触时的速度为v。试求杆在危险点的冲击应力。l解：gFvE22k0pE杆内的应变能为ddεd21ΔFVEIaFΔ33dd由此得d3d3ΔaEIF(b)AGCBdΔdF(a)AlBCGav由机械能守恒定律可得2d32)3(212ΔaEIgPv由此解得d为st2stst232d)3(gΔvΔΔgvEIPagvΔ式中，EIPaΔ33st于是，可得杆内的应变能为2d3ddεd)3(2121ΔaEIΔFVAFCB(c)stΔ当杆在C点受水平力F作用时，杆的固定端横截面最外缘（即危险点）处的静应力为WFaWMmaxstWFagΔvKst2stdd于是，杆在危险点处的冲击应力d为st2stddgΔvΔΔK例12-7已知：P=2.88kN,H=6cm;梁：E=100GPa,I=100cm4,l=1m。柱：E1=72Gpa,I1=6.25cm4,A1=1cm2,a=1m,λP=62.8,σcr=373-2.15λ,nst=3。试校核柱的稳定性。HLLa解：（1）求柱的动载荷mmAEPaEIlPst9.4448)2(11305.6211stdHKkNFKFstdd71.8288.205.6（2）柱的稳定性校核7.28,40,2511111AFiammAIicrcrPkNstdcrnFFn3.3柱是稳定的。练习题：图(a)所示外伸梁自由端放一重物P，自由端的挠度Δst=2mm；若该重物从高度h=15mm处自由落下如图(b)所示，冲击到梁的B点，则连得最大动挠度Δdmax=。BPAhBPA