数值分析 李庆扬 第9章 常微分方程初值问题数值解法

《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日1例如：时，第9章常微分方程初值问题数值解法9.1引言微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。例如：，求2xyyyxyy00yxy定解条件：求解微分方程时，所附加的条件——定解问题。初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值——初值问题。0xx例如：时，bbyxy边界条件：给出积分曲线在首末两端的值——边值问题。bxx常微分方程：未知函数为一元函数。偏微分方程：未知函数为多元函数。《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日2一阶常微分方程的初值问题：y,xfy00yxy求解?xyy注意：y,xfxy——解函数、积分曲线；xyy——微分函数。y,xfy确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。xyOxyy1x2x1y2y，b,xx0《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日3如果存在实数，使得0LRy,y,yyLy,xfy,xf212121称关于满足利普希茨条件，为的利普希茨常数。fyLf说明：条件可理解为解函数无限接近时，微分函数也无限接近。定理1设在区域上连续，fRy,bxay,xD且关于满足利普希茨条件，则对任意yRy,b,ax00常微分方程初值问题当时存在唯一的连续可微解。b,axxy《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日4关于方程的解对扰动的敏感性，有结论：定理2设在区域上连续，且关于满足利普希茨条件，fDy设初值问题，，y,xfysxy0其解为，则s,xy21210sses,xys,xyxxL说明：①定理表明解对初值的敏感性，即初值不同，解也有差异；②解得敏感性与微分函数有关：f当的利普希茨常数较小时，解对初值相对不敏感；fL当较大时，初值的扰动会引起解剧烈变化—病态问题；L《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日5数值解法：在一系列离散点上，121nnxxxx求解近似值。121nnyyyy“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。步长：常用等步长，节点为nnnxxh1nhxxn0单步法：计算时，只用到前一点的值1nyny步法：计算时，用到前面点的值1ny11knnny,,y,ykk《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日69.2简单的数值方法9.2.1欧拉法与后退欧拉法初值问题：y,xfy00yxy解的形式：是通过点的一条曲线xyy00y,x——积分曲线。特点：积分曲线上每一点的切线斜率为y,xy,xfy《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日7尤拉方法：①将解区间离散化，选择步长，b,ah得到离散点：；,x,,x,xn10②由切线，0000y,xfy,x10PP切线与交点：的近似值；1xx1P1y③再由向前推进到，11y,x2P得到折线，近似。nPPP10xyy《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日8任意折线：1nnPP过点作直线，nny,x斜率，nny,xfynnnnnny,xfxxyy11nnnny,xfhyy1——欧拉方法若初值已知，由此可逐次算出：0y0001y,xhfyy1112y,xhfyy《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日9P281例1求解初值问题yxyy210x10y解：欧拉公式为，nnnnnyxyhyy2110y10.h000012yxyhyy1021101.10001.111122yxyhyy11102111011.....19181.《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日10局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差假设：nnxyynnnnnnnxy,xfhxyy,xfhyy1nnxyhxy泰勒展开函数：1nxynnnnyhxyhxyxy!2!121局部截断误差：nnnnxyhyhyxy222211《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日11后退的欧拉法：离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，基本方法之一是用差商替代导数项。例如：nnnhxyhxyxy10limnnnnnxy,xfxyhxyxy1nnnny,xfhyy1nnxyynnnny,xfhyy1——向前的欧拉公式（显式）《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日12同理：110limnnnhxyhxyxy111nnnny,xfhyy111nnnny,xfhyy——后退的欧拉公式（隐式）注意：①显式计算方便，隐式稳定性较好；?1ny②上式隐含，采用迭代法求解。《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日13欧拉公式的另一种理解：将常微分方程改写y,xfytty,tfydd对微分方程从到积分nx1nxtty,tfxyxynnxxnnd11由积分左矩形公式得nnxxxy,xhftty,tfnnd1再以代替，以代替nynxy1ny1nxynnnny,xhfyy1——向前的欧拉公式《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日14对微分方程从到积分nx1nxtty,tfxyxynnxxnnd11由积分右矩形公式得11d1nnxxxy,xhftty,tfnn再以代替，以代替nynxy1ny1nxy111nnnny,xhfyy——后退的欧拉公式同理：《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日15迭代法求解：后退的欧拉公式——逐步显示①先用尤拉格式，求出初值：01nynnnny,xfhyy01②再将结果代入微分函数：011nny,xf01111nnnny,xfhyy11121nnnny,xfhyy③反复迭代，直到收敛：knnnkny,xfhyy1111《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日16讨论迭代的收敛性：因函数对满足利普希茨条件y,xfyRy,y,yyLy,xfy,xf212121比较欧拉的后退公式和其次迭代结果1k111nnnny,xfhyyknnnkny,xfhyy1111两式相减得111111111nknnnknnnknyyhLy,xfy,xfhyy由此可知：只要迭代法就收敛到解。1hL1ny《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日17可以证明：局部截断误差后退的欧拉公式nnnyhyxy2211向前的欧拉公式nnnyhyxy2211因此：平均可减少误差——梯形格式。（注意：误差不可能消除，两公式不同。）n《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日189.2.2梯形方法向前欧拉方法：nnnny,xfhyy1后退欧拉方法：111nnnny,xfhyy梯形方法：两者平均1112nnnnnny,xfy,xfhyy注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。（图示表示梯形法计算结果）《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日19用迭代法求解：梯形法nnnny,xfhyy01（用向前公式求初值）knnnnnkny,xfy,xfhyy11112（即将上次结果代入）1nf反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日20分析迭代过程的收敛性：比较梯形公式和其迭代公式，并相减两式1112nnnnnny,xfy,xfhyyknnnnnkny,xfy,xfhyy1111211111112nnknnnkny,xfy,xfhyy由利普希茨条件，有111112nknnknyyhLyy若选取充分小，使得，则时有h12hLk11nknyy《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日219.2.3改进欧拉公式①先用向前欧拉公式，求得一个初步的近似值预测：nnnny,xfhyy1②再用梯形公式，将结果校正一次校正：1112nnnnnny,xfy,xfhyy平均化形式：nnnpy,xfhyypnncy,xfhyy1cpnyyy211《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日22P284例2用改进的欧拉方法求解初值问题：yxyy210x10y解：yxyy,xf210101.hnnnnpyxyhyy2pnpncyxyhyy12cpnyyy211《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日239.2.4单步法的局部截断误差与阶初值问题单步法求解的一般形式为h,y,y,xhyynnnnn11（其中多元函数与有关）y,xf当含有时，方法是隐式的，否则为显式方法。1ny显式单步法可表示为h,y,xhyynnnn1称为增量函数，例如对欧拉法有h,y,xy,xfh,y,x《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日24定义1设是初值问题的准确解，称xyh,xy,xhxyxyTnnnnn11为显式单步法的局部截断误差。注意：上述中假设在前各步没有误差，故误差是局部的。nx当时，计算一步，则有nnxyyh,y,xhyxyyxynnnnnn11111nnnnnTh,xy,xhxyxy局部截断误差：是计算一步的误差，也是公式误差。《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日25如果将函数在处泰勒展开1nxynx3212hOxyhhxyxyxynnnn欧拉法的局部截断误差为h,xy,xhxyxyTnnnnn11nnnnxy,xhfxyxy1nnnxyhxyxy1这里称为局部截断误差主项。显然nxyh2221hOTn3212hOxyhTnn《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日26定义2设是初值问题的准确解，xy若存在最大整数使显式单步法的局部截断误差满足p11pnhOh,y,xhxyhxyT则称该方法具有阶精度。p若将局部截断误差展开，写成211ppnnnhOhxy,xT则称为局部截断误差主项。1pnnhxy,x《数值分析》黄龙主讲2020年2月26日27以上定义对隐式单步法也适用。同样将函数在处泰勒展开1nxynx3212hOxyhxyhxyxynnnn21hOxyhxyxynnn后退欧拉法的局部截断误差为1111nnnn