数值分析--第4章 数值积分与数值微分

1第4章数值积分与数值微分4.1数值积分概论4.2牛顿-柯特斯公式4.3复合求积公式4.4龙贝格求积公式4.5自适应积分方法4.6高斯求积公式4.7多重积分4.8数值微分24.1数值积分概论4.1.1数值积分的基本思想依据微积分基本定理，对于积分,)(badxxfI只要找到被积函数的原函数，便有下列牛顿-莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式：)(xf)(xF).()()(aFbFdxxfba但对于下列情形：3（1）被积函数，诸如等，找不到用初等函数表示的原函数，或者即使能求得原函数但原函数的表达式非常复杂，计算困难；2e),0(sinxxxx（2）当是由测量或数值计算给出的一张数据表时，牛顿-莱布尼兹公式也不能直接运用.)(xf因此有必要研究积分的数值计算问题.由积分中值定理知，在积分区间内存在一点ξ，成立],[ba),()()(fabdxxfba4就是说，底为而高为的矩形面积恰等于所求ab)(f曲边梯形的面积(图4-1).I图4-15问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值.)(f将称为区间上的平均高度.)(f],[ba这样，只要对平均高度提供一种算法，相应地便)(f获得一种数值求积方法.用两端点“高度“与的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式)(af)(bf)(f)]()([2)(bfafabdxxfba（1.1）是梯形公式(几何意义参看图4-2).6图4-2用区间中点的“高度”近似地取代平均高度，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)2bac)(cf)(f).2()()(bafabdxxfba（1.2）7一般地，可以在区间上适当选取某些节点，],[bakx然后用加权平均得到平均高度的近似值，)(kxf)(f,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）式中称为求积节点；称为求积系数，亦称伴随节点的权.kx权仅仅与节点的选取有关，而不依赖于被积函数的具体形式.kAkx这样构造出的求积公式具有下列形式：kAkx)(xf8这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼兹公式需要寻求原函数的困难.94.1.2代数精度的概念定义1如果某个求积公式对于次数不超过的多项式m均能准确地成立，但对于次多项式就不准确成立，1m则称该求积公式具有次代数精度.m梯形公式(1.1)和矩形公式(1.2)均具有一次代数精度.数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.10nkkabA0,欲使求积公式(1.3)具有次代数精度，则只要令它m对都准确成立，就得到mxxf,,2,1)(（1.4）nkmmmkkabmxA011).(11nkkkabxA022),(21,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）11如果事先选定求积节点，譬如，以区间的等距分点作为节点，这时取，求解方程组(1.4)即可确定求积系数，而使求积公式(1.3)至少具有次代数精度.kx],[banmkAn构造形如(1.3)的求积公式，原则上是一个确定参数和的代数问题.kxkA,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）12例如时，取，求积公式为bxax10,1n).()()()(10bfAafAdxxffIba在线性方程组（1.4）中令，则得1m),(21,221010abbAaAabAA解得于是得).(2110bfAA)].()([2)()(bfafabdxxffIba这就是梯形公式，表明利用线性方程组（1.4）推出的求积公式，与用通过两点与的直线近似曲线得到的结果是一致的.))(,(afa))(,(bfb)(xfy13当时（1.4）式的第3个式子不成立，因为2)(xxf).(31)(233222abdxxbaabba所以梯形公式（1.1）的代数精度为1.在（1.4）中如果节点和系数都不确定，那么（1.4）就是关于及的个参数的非线性方程组，该方程组在时求解是很困难的.ix),,1,0(niAi22n1n但在和时还是可以通过求解（1.4）得到相应的求积公式的.0n1n140n如，此时求积公式为),()()(00xfAdxxffIba其中，及为待定参数.0A0x根据代数精度的定义可令，由（1.4）知xxf,1)(),(21,22000abxAabA于是).(210bax所得到的就是（1.2）式的中矩形公式.15再令，代入（1.4）的第3式有2)(xxf),(31)(4)2)((332222200abdxxbaabbaabxAba说明公式（1.2）对不精确成立，故它的代数精度为1.2)(xxf方程组（1.4）是根据形如（1.3）式的求积公式得到的，按照代数精度的定义，如果求积公式中除了还有在某些节点上的值，也同样可得到相应的求积公式.)(ixf)(xf16例1给定形如的求积公式，试确定系数，使公式具有尽可能高的代数精度.)0()1()0()(01010fBfAfAdxxf010,,BAA解根据题意可令分别代入求积公式使它精确成立2,,1)(xxxf当时，得1)(xf;111010dxAA当时，得xxf)(;211001dxxBA17当时，得2)(xxf.311021dxxA解得,于是得61,32,31000BAA).0(61)1(31)0(32)(10fffdxxf当时，而上式右端为，故公式对不精确成立，其代数精度为2.3)(xxf.41103dxx313)(xxf184.1.3插值型的求积公式设给定一组节点,210bxxxxan且已知函数在这些节点上的值，)(xf作插值函数.)(xLn取banndxxLI)(作为积分的近似值，badxxfI)(nkkknxfAI0)(（1.5）这样构造出的求积公式称为是插值型的，式中求积系数通过插值基函数积分得出kA)(xlk19.,,1,0,)(nkdxxlAbakk（1.6）求积公式的值余项式中ξ依赖于，x).())(()(101nnxxxxxxx（1.7）,)()]()([][dxxRdxxLxffRbanban),()!1()()(1)1(xnfxRnnn其中20当是次数不超过的多项式时，插值多项式就是n)(xf函数本身，余项为零，][fR.)()(0banjjkjkxlAdxxl反之，如果求积公式(1.5)至少具有次代数精度，则n它必定是插值型的.事实上，这时公式(1.5)对于插值基函数应准确)(xlk成立，即有至少具有次代数精度.n所以这时插值型求积公式nkkknxfAI0)(（1.5）21注意到上式右端实际上即等于，因而,)(kjjkxlkA.)(bakkdxxlA成立.这样，有定理1形如(1.5)的求积公式至少有次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.nnkkknxfAI0)(（1.5）22若求积公式(1.3)的代数精度为，则有求积公式余项的表达式(1.7)可以证明余项形如m（1.8）),()()(][)1(0mnkkkbafKxfAdxxffR其中为不依赖于的待定参数,K)(xf).,(ba结果表明当是次数小于等于的多项式时，由于，故此时，即求积公式(1.3)精确成立.)(xfm0)()1(xfm0][fR而当时，(1.8)的右端故可求得1)(mxxf,)!1()()1(mxfm,0][xRn4.1.4求积公式的余项23（1.9）].)()2(1[)!1(1][)!1(10122011nkmkkmmnkmkkbamxAabmmxAdxxmK代入余项(1.8)中可以得到更细致的余项表达式.梯形公式(1.1)的代数精度为1，可以证明它的余项表达式为),,(),(][bafKfR其中.)(121])(61[21)](2)(31[21332233ababbaababK于是得到梯形公式(1.1)的余项为).,(),(12)(][3bafabfR（1.10）24对中矩形公式(1.2)，其代数精度为1，可以证明),,(),(][bafKfR其中.24)(])2)(()(31[213233abbaababK于是得到梯形公式(1.1)的余项为).,(),(24)(][3bafabfR（1.11）25例2求例1中求积公式)0(61)1(31)0(32)(10fffdxxf的余项解由于此求积公式的代数精度为2，故余项表达式为.令，得，于是有)(][fKfR3)(xxf!3)(f.721)3141(!31))]0(61)1(31)0(32([!31103fffdxxK故得).1,0(),(721][ffR264.1.5求积公式的收敛性与稳定性定义2在求积公式(1.3)中，若.)()(lim00bankkkhndxxfxfA其中),(max11iinixxh在求积公式(1.3)中，由于计算可能产生误差，)(kxfk实际得到将是，kf~即.~)(kkkfxf,)()(0nkkknxfAfI则称求积公式(1.3)是收敛的.记nkkknfAfI0.~)~(,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）27如果对任给小正数,0只要误差充分小就有knkkkknnfxfAfIfI0]~)([)~()(（1.12）,则表明求积公式(1.3)计算是稳定的，由此给出:定义3对任给若只要),,1,0(~)(nkfxfkk就有(1.12)成立，则称求积公式(1.3)是稳定的.,0,0,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）28定理2若求积公式(1.3)中系数证明取,ab,~)(kkfxf),,1,0(0nkAk则此求积公式是稳定的.,0对任给都有nk,,1,0若对则当时有0kAnkkkknnfxfAfIfI0)~)(()~()(nkkkkfxfA0~)(,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）29定理2表明，只要求积系数，就能保证计算的稳定性.由定义3，知求积公式(1.3)是稳定的.nkkA0)(ab.0kA,)()(0nkkkbaxfAdxxf（1.3）304.2牛顿-柯特斯公式4.2.1柯特斯系数与辛普森公式设将积分区间划分为等分，],[ban选取等距节点构造出的插值型求积公式khaxknkknknxfCabI0)()()(（2.1）称为牛顿-柯特斯公式，式中称为柯特斯系数.)(nkC按(1.6)式，引进变换,thax,nabh步长则利用等距节点的插值公式，有.)(bakkdxxlA（1.6）31nnkjjnkdtjkjtabhC00)(（2.2）.)()!(!)1(00nnkjjkndtjtknnk当时，1n,21)1(1)1(0CC这时的求积公式就是梯形公式)]()([2bfafabT32当时，按(2.2)式，2n,61)2)(1(4120)2(0dtttC相应的求积公式是辛普森(Simpson)公式)],()2(4)([6bfbafafabS（2.3）,64)2(2120)2(1dtttC.61)1(4120)2(2dtttC柯特斯系数为