第6章 波函数和薛定谔方程

第六章波函数和薛定谔方程第1节波函数和算符用波函数描述粒子的状态——量子力学的一个基本假设。经典理论：坐标，动量——轨道量子理论：波函数——粒子具有波动的性质（ν和λ）例：考虑自由粒子，E，p，德布罗意关系可算出频率和波长：hEph猜想：可用具有波动性质的平面单色波来表示此粒子的状态：trp,tnriAe2EtrpiAe——自由粒子的波函数说明：1，用ψp(r,t)可以表示出粒子的ν和λ特征。这是一个猜想，其有效性需要后面的推论来验证。2，ψp(r,t)的物理意义，下一节介绍。3，相关公式ppnhn22EhE222h4，将由ψp(r,t)得到量子力学的基本公式，建立量子力学的基础，进而确定粒子的全部微观性质。问题：自由粒子的波函数ψp(r,t)如何得到力学量？波函数ψp(r,t)对x求偏导，再乘以-iħ，则：trxip,tripipx,trppx,类似的方法，可得到py和pz。波函数ψp(r,t)对t求偏导，再乘以iħ，则：trtip,trEp,以上计算的共同点：计算过程xiyiziti这些计算过程，称为算符，在数学中，也习惯称为算子，表示对函数的操作过程。由于这些算符作用在波函数上，等于对应的力学量乘以波函数，则：xiyiziti——对应力学量的算符。其他算符：利用经典的力学量公式，把其中的动量换成动量算符，即可获得所有的力学量算符。例：动能的定义式：mpT22mpppzyx2222动能算符：22221ziyiximT22222222zyxm222mtrTtrmpp,,222则有：说明：1，通过算符来表示力学量，是波函数假设的必然推论。2，任一算符与其对应力学量的关系为：trAtrApp,,拉普拉斯算符—2第2节波函数的统计解释因为粒子具有波粒二象性——引入波函数。波恩对波函数做出如下解释：根据波函数的强度分布，可以确定粒子出现的几率。解释：粒子的波函数ψp(r,t)，通常为复数，其强度为|ψp(r,t)|2=ψp*(r,t)ψp(r,t)，为非负实数。在空间体积元dτ=dxdydz中，找到粒子的概率与|ψp(r,t)|2成正比，与体积元dτ成正比：trdp,dtrkp2|,|取比例系数k=1dtrp2|,|单位体积内找到粒子的几率为：dtrdp,2|,|),(trtrwpw(r,t)——几率密度函数。第3节态的迭加原理态的迭加原理：如果ψ1和ψ2是体系的可能状态，那么它们的线性迭加Φ=c1ψ1+c2ψ2也是体系的一个可能状态。说明：1，波函数的迭加，是状态的迭加，不是强度的迭加。2，线性迭加，要求对于波函数运算的方程是齐次方程。归一化波函数：在全空间任一粒子出现几率为1，则：1,2dtr——归一化条件dτ为空间体积元，3维情况下dτ=dxdydz（与相体积元区别）。满足此条件的波函数，称为归一化波函数。有些波函数，不能用上式归一化，例如前面介绍的EtrpipAetr),(例：对于波函数Φ(r,t)，如果有Ndtr2,则其归一化波函数为：trNtr,1,N1——归一化常数对波函数的说明：1：描述同一状态，可有多个波函数，包括归一化和未归一化波函数；2：如Φ(r,t)为描述某一状态的波函数，则Φ(r,t)eiδ（其中δ为实常数）描述同一状态。因为：22,**|,|treeetriii其中eiδ称为相因子。3：判断多个波函数是否描述同一状态，需要看他们相对几率是否相同。2221波函数都归一化后，判断是否练习：1，判断波函数Φ(r,t)和-iΦ(r,t)是否描述同一状态？22|,||,|tritrtretrii,,232：设波函数为Ψ(x,y,z,t)，求在(x,x+dx)的范围内找到粒子的几率。解：如Ψ(x,y,z,t)已归一化，则几率为：dxdzdyP2'如未归一化，则几率为：dxdydzPP2'3:已知t=0时自由粒子的波函数为：rpier02320,p0为已知动量矢量，求Ψ(r,t)。解：p0对应能量为mpE2200则设tErpiAetr00),(代入t=0时的波函数，确定232A第4节薛定谔方程问题：如何确定任意一个系统的波函数？要找到一个作用在Ψ(r,t)上的普遍方程——薛定谔方程。考虑粒子在势场中运动，势能为V(r,t)，则能量表示为：薛定谔方程：trVmpE,22对应的算符为：trVmH,222Htiˆ——薛定谔方程对薛定谔方程的说明：1，1926年最早由薛定谔提出；3，上面只是凑出形式，并不是严格的推导得出；2，是量子力学的另一个基本假设；4，是量子力学的基础，相当于经典力学的基础定律F=ma。5，多粒子情形：描述由N个粒子组成的系统。trrrN,,,,21——多粒子系统的波函数trrrtiN,,,,21trrrtrrrVmNNiii,,,,,,,2212122——多粒子系统的薛定谔方程例：若已知ψp(x,t)满足2222xmtipp试证明任意波函数pdtrpctrp3,,也满足2222xmtizyxdpdpdppd3证明：ttri,pdtrpctip3,pdttrpcip3,pdtrmpcp322,2pdtrpcmp322,2trm,222第5节粒子流密度和粒子数守恒定律波函数为Ψ(r,t)，则粒子在dr出现的几率为：2,),(trtrwtrtr,,*则几率随时间的变化率为：ttrw,tt**Ψ和Ψ*分别满足薛定谔方程：rVimit122*1*2*2rVimitttrw,**222mi**2miJ其中令：**2miJ说明：1，w(r,t)为物质在r处的密度，J(r,t)则是该处物质的流。0Jtw2，物质在空间任一处的粒子数守恒律对比：质量守恒律0Jtw电荷守恒律0eeJtw考虑到w的物理意义（w为物质在r处的密度）,则波函数必须满足（波函数的标准条件）：1，连续性：Ψ不能有跃变，否则会导致w不连续；2，有限性：w=|Ψ|2才能为有限，满足几率密度的物理意义；3，单值性：空间任一点r，只有一个w。则要求Ψ使w为单值。第6节定态薛定谔方程考虑定态的情形，即：势能V(r,t)与时间t无关，可以写成V(r)的形式，可以使用分离变量法简化薛定谔方程。设波函数Ψ(r,t)=ψ(r)f(t)，分为分别只和r，t有关的部分，则：rVmti222rtrVmtfttfri,222把只含r，t的部分分别放在等式两边，则：ttftfiErrrVm222只含有t的部分：tEfdttdfiEtiCetf只含有r的部分：rErrVm222定态薛定谔方程说明：1，该方程中的ψ(r)表示粒子能量为E的态。能量E不变的态，称为定态。2，定态时粒子的宏观状态（几率密度w，几率流密度J）不随时间改变。22)(,),(rtrtrw**2**2mimiJrVmH222定义：哈密顿算符则定态薛定谔方程可以写成：EHλ称为本征值或特征值，φ称为本征函数或特征函数。由此：定态薛定谔方程归结为一个本征值问题。数学上，如果算符作用在函数上，等于某常数乘以该函数，即：F——本征方程，或特征方程，或固有方程。第7节一维无限深势阱本节目标：1，解最简单的定态薛定谔方程；2，理解系统能量不连续化，即量子化现象；3，进一步理解波函数概念。考虑一维空间中运动的粒子，质量为μ，其势能满足：0xUaxax一维无限深势阱写出薛定谔方程：阱内：Edxd2222阱外：EUdxd022220U经分析知，在阱外，只有ψ=0，薛定谔方程才成立，则只需求解阱内方程。引入符号：2122E阱内薛定谔方程可简写为：0222dxdax二阶常系数常微分方程，其形式解为：xBxAcossinax考虑到波函数的连续性，在x=±a处，ψ=0，即：0cossinaBaA0cossinaBaA两式相加，得：0cosaB两式相减，得：0sinaAA,B不能同时等于0，否则得到平庸解ψ=0（无物理意义）则：整数时，有整数时，有0sin00cos02aBaaA半整数从而得到：2na,2,1n代入2122E22228anEn,2,1n阱中的粒子，并不能取任意能量，只能取分立的En值；而波函数：对应于B=0：对应于A=0：02sinxanAn为偶数naxax02cosxanBn为奇数naxax合并为同一个式子：02sin'axanAnaxax说明：1，其中A'称为归一化常数。12dxaA1'2，束缚态：当x→∞时，ψn(x)→0，这种波函数描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的。3，基态：当n=1，给出能量En最低的态称为基态（对于谐振子，n=0给出基态，详见下一节。）4，考虑波函数中含有t的部分，则一维无限深势阱的波函数为：tEinnnextx,tEineaxanA2sin'——相当于相对传播的平面波（普通物理知识，可迭加成驻波）。一维无限深势阱的能量本征函数（左）和粒子位置几率密度分布（右）。第8节线性谐振子一维定态的另一个典型例子：1，在研究固体热容量问题中有重要的作用；2，许多实际体系可以简化成谐振子的运动。势能：2221221xkxxU圆频率：k用半经典的方法，求得能级为：nEn量子力学的结果：21nEn下面推导此公式根据势能，写出薛定谔方程：02222222xEdxd方便起见，引入：xxE2原方程可以改写成：0222dd——为二阶变系数常微分方程，不易直接求解。先看看特殊情况：当ξ→∞时，则：22E0~~222dd此方程的形式解为：22~~e则原方程的解形式上可试探性设为：22eH则现在的任务是确定未知函数H(ξ)，把形式解代入原方程，得：01'2''HHH仍然为二阶变系数常微分方程，可用幂级数法求解。令：02210aaaaH则：1222132'