2018年高二数学：椭圆

第1页共31页2018年高二数学：椭圆1．椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．(1)当2a＞|F1F2|时，P点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是线段；(3)当2a＜|F1F2|时，P点不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形性质范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2第2页共31页1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()(5)y2a2＋x2b2＝1(a≠b)表示焦点在y轴上的椭圆．()(6)x2a2＋y2b2＝1(ab0)与y2a2＋x2b2＝1(ab0)的焦距相等．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．椭圆C：x225＋y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为()A．12B．16C．20D．24解析：选C△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a.在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C.3．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k0，k－30，5－k≠k－3.解得3k5且k≠4.答案：(3,4)∪(4,5)4．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e＝23，则实数k的值是________．解析：当k＞4时，有e＝1－4k＝23，解得k＝365；当0＜k＜4时，有e＝1－k4＝23，解得k＝209.故实数k的值为209或365.答案：209或365第3页共31页5．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1.答案：x24＋y23＝1考点一椭圆的标准方程基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]高考对椭圆的标准方程的考查形式有两种：一是根据题设条件求椭圆的标准方程；二是通过椭圆的标准方程得出椭圆的基本量的数值，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第1问，难度适中.1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25＋y2＝1B.x24＋y25＝1C.x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D．以上答案都不对解析：选C直线x－2y＋2＝0与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1.当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x24＝1.第4页共31页2．(2018·合肥一模)已知椭圆x29＋y25＝1，F为其右焦点，A为其左顶点，P为该椭圆上的动点，则能够使PA―→·PF―→＝0的点P的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：选B由题意知F(2,0)，A(－3，0)．当点P与点A重合时，显然PA―→·PF―→＝0，此时P(－3，0)．当点P与点A不重合时，设P(x，y)，PA―→·PF―→＝0⇔PA⊥PF，即点P在以AF为直径的圆上，则圆的方程为x＋122＋y2＝254.①又点P在椭圆上，所以x29＋y25＝1.②由①②消去y得4x2＋9x－9＝0，解得x＝－3(舍去)或34，则y＝±534，故能够使PA―→·PF―→＝0的点P的个数为3，故选B.3．一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为________________．解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上，知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则a＝2c，又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，a＝2c得a2＝8，b2＝6，故椭圆的标准方程为x28＋y26＝1.答案：x28＋y26＝14．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于12，且它的一个顶点第5页共31页恰好是抛物线x2＝83y的焦点，则椭圆C的标准方程为______________．解析：由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b＝23.因为e＝ca＝12，所以a＝2c，又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1.答案：x216＋y212＝1[怎样快解·准解]1．定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：(1)b2＝a2－c2；(2)椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；(3)椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于实半轴长a.2．待定系数法求椭圆的标准方程的4步骤[注意]求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2＋ny2＝1(m0，n0)．(如第1题)考点二椭圆的定义及其应用重点保分型考点——师生共研高考对椭圆定义的考查形式主要有两种：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用椭圆的定义结合正、余弦定理等知识解决焦点三角形问题，通常以选择题或填空题的形式出现，难度适中.[典题领悟]1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆第6页共31页的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12解析：选C由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43.2．若F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B.74C.72D.752解析：选C由题意得a＝3，b＝7，c＝2，∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8.解得|AF1|＝72.∴△AF1F2的面积S＝12×72×22×22＝72.[解题师说]1．利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值第7页共31页2．与椭圆定义有关的结论以椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．[冲关演练]1．已知椭圆C：x24＋y23＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4B．8C．12D．16解析：选B设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝12|AN|，同理|DF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.2．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1―→⊥PF2―→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1―→⊥PF2―→，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.所以|PF1||PF2|＝2b2，所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.所以b＝3.答案：3第8页共31页考点三椭圆的几何性质题点多变型考点——追根溯源椭圆的几何性质内容非常丰富，因此在高考中对椭圆几何性质的考查也非常广泛，但是对其离心率的考查是每年高考的热点.本考点对数形结合思想要求较高，方法灵活，难度中等偏上，题型既有选择题、填空题，也有解答题.,常见的命题角度有：,1求椭圆离心率的值或范围；,2根据椭圆性质求参数的值或范围.[题点全练]角度(一)求椭圆离心率的值(或范围)1．从椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是()A.24B.12C.22D.32解析：选C由题意可设P(－c，y0)(c为半焦距)，kOP＝－y0c，kAB＝－ba，由于OP∥AB，∴－y0c＝－ba，y0＝bca，把P－c，bca代入椭圆方程得－c2a2＋bca2b2＝1，即ca2＝12，∴e＝ca＝22.[题型技法]求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a，c，直接利用公式e＝ca求解．(2)方程法：根据已知条件建立关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解．[注意]在解关于离心率问题时，注意根据椭圆离心率e∈(0,1)进行根的取舍．角度(二)根据椭圆性质求参数的值(或范围)2．(2017·全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．