初中数学中的转化思想数学思考

初中数学中的“转化思想”——数学思考人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，……等等，下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。一生疏问题向熟悉问题转化生疏问题向熟悉问题转化是解题中常用的思考方法。解题能力实际上是一种创造性的思维能力，而这种能力的关键是能否细心观察，运用过去所学的知识，将生疏问题转化为熟悉问题。因此作为教师，应深刻挖掘量变因素，将教材抽象程度利用学过知识，加工到使学生通过努力能够接受的水平上来，缩小接触新内容时的陌生度，避免因研究对象的变化而产生的心理障碍，这样做常可得到事半功倍的效果。例1：解方程x+2=3分析：在学一元一次方程解法前，我们会解的只有加减法，于是，通过逆向思维把加法化为逆运算减法x=3-2，很容易把生疏的方程转化为熟悉的减法，从而解决问题。二化部分为整体已知x2-x-1=0，则代数式-x2+x+2009的值为多少？把X2-x-1=0看成整体，-x2+x+2009中可变出这个整体，即可变为-（X2-x-1）-1+2009把（X2-x-1）看作整体为0，代入-（X2-x-1）-1+2009中得出结果为2008。三、复杂问题转化为简单问题教师通过合理设置问题，将一个复杂的问题分成几个难度与学生的思维水平同步的小问题，再分析说明这几个小问题之间的相互联系，以局部知识的掌握为整体服务。例如，针对某一概念，可围绕下面几个角度设置问题：概念的构成；概念所涉及的子概念；概念的外延；概念的内涵；概念的确定与否定；概念之间的关系；概念的应用以及由概念而设计的一些构造性问题等等。问题与问题之间要有一定的梯度，以利于教学时启发学生思维。复杂问题简化是数学解题中运用最普通的思考方法。一个难以直接解决的问题，通过深入观察和研究，转化为简单问题迅速求解。例2：解方程(xx-1)2-5（xx-1）+6=0分析：此方程形式较复杂，可通过换元化为简单方程。令xx-1=y，则y2-5y+6=0,通过换元转化为会解的一元二次方程可进一步求解。四．高次转化为低次例：解方程x4-5x2+6=0分析：这是一道一元高次方程，可通过换元进行降次，转化为会解的一元二次方程设X2=Y则上式变为会解的一元二次方程Y2-5Y=0，在进一步来解。五、实际问题转化为数学问题重视数学知识的应用，加强数学与实际的联系，是近年来数学教改的一个热点，已成为我国教育改革的一个指导思想，也是新大纲强调的重点之一。新编教材在加强用数学的意识方面也作了改进，理论联系实际是编写教材的重要原则之一，教材注意把数学知识应用到相关学科和生活、生产实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。进入九十年代中后期来，应用问题在中考的地位已经确立，并且也越来越重要。在解决实际问题时，要重在分析的关系，培养学生应用数学能力。例:甲乙两个仓库要向两地A.B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥；A地需70吨水泥，B地需110吨水泥；两库到A、B两地的路程和运费如下表∶路程（千米）运费（元/吨千米）甲库乙库甲库乙库A地20151212B地2520108(1)设甲库运往A地水泥X吨，求总运费（Y元）关于X的函数关系式；(2)当甲、乙两库各运往A、B两地多少吨水泥时，总运费最省？最省的运费是多少？解∶（1）设甲库运往A地水泥X吨，则∶运往B地就是（100-X）吨，乙地运往A地为（70-X），乙地运往B地（10+X）吨。所以总费用为：Y=20×12X+15×12（70-X）+25×10（100-X）+20×8（10+X）即Y=-30X+39200（2）上述一次函数中，Y的值随X的增大而减小，X=70时，总运费（Y元）最小，为37100元。六一般与特殊的转化例5：如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B=60°，求BC的长。分析：直角三角形是三角形中最特殊，最简单的情景，因此，构造Rt△解题是转化的重要策略，如图过A作AD⊥BC于D，此题便迎刃而解。七数与形的转化例6：①一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是几边形？②一次函数Y=KX一定过那一点，当K＞０时此函数在那个象限？分析：①题属于用代数方法来解决几何问题（可列方程）；②题属于用几何方法来解决代数问题（可用坐标系画出此一次函数的大致图象再回答，这样把数与形结合起来较直观。）再如下例：BCA综上所述，数学转化思想是中学数学教育中最活跃，最实用的。其它的如不规则转化为规则，动与静的转化都是数学中的转化思想，此外，转化思想在立体几何中也应用普遍如图形与符号的转化，维度的转化，变量与不变量的相互转化等等就不一一举例。我们在教学中还应合理组织教学活动，加强新旧知识的联系；摒弃“题海战”的教学模式；重视解题思路的概括解题。这对学生各种思维能力（包括数学转化能力）的提高也同样是有益的。其实多数学问题的解决都要运用转化思想，教师在平时的教学中要善于引导和鼓励学生在学习上和生活中经常运用转化思想，学习上，善于运用转化思想的同学，将能解决更多的数学问题，将有更浓厚的学习兴趣。生活中，善于运用转化思想的同学，将变得越来越聪明，越来越富有创造性，这正是我们每位教育工作者所期待的东西，正是教育的归宿，教育的目的。所以要重方法，而不要重题海。总之第一、体会与数学相关的各种联系。学生要体会三个方面的联系：数学知识之间的联系；数学与其他学科之间的联系；数学与生活之间的联系。一堂课可能重点学习一个数学知识，但是数学是一个整体，任何数学知识都不是孤立的；一段时间以后，教师应该引导学生把这些知识点联接成线，再把这些线进一步联接成网，在自己的头脑中形成网状的知识体系。这样的教学活动多次进行，不仅有利于学生全面认识和准确理解相关的数学知识，而且有利于学生养成良好的习惯，增强能力，逐渐也善于把学到的数学知识建构成网状的知识体系，从而提高学生对于数学的整体认识和宏观把握，提高学生的数学素养。此外，数学学科与其他学科是广泛联系着的。许多数学知识来源于其它学科，所有数学知识都将应用于其它学科。所以学生不应该孤立地学习数学，而应该注意数学与其他学科之间的联系。教师也不应该封闭地讲授数学，而应该经常提及其他学科中的数学背景和应用。这一轮课程改革，加强了课程内容的综合性，淡化了学科界限，教材的编写者和教师都应该注意到这一特点。至于“数学与生活之间的联系”，其实也可以表述为“数学与实践之间的联系”；由于本“课标”是针对义务教育阶段的课程，所以表述为“数学与生活之间的联系”可能更加贴近这一年龄段的学生。数学来源于实践，又应用于实践，与实践的关系非常密切。千万不要让学生误以为数学是数学家用符号编造出来的“天书”，误以为学数学仅仅是为了解题和应付考试。第二、运用数学的思维方式进行思考。在学生学会知识的过程中也要学会思考，学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终生受益。这种思考是“运用数学的思维方式进行”的思考，也可以称为“数学方式的理性思维”。数学课程在培养学生逻辑推理和理性思维方面的作用，是其他课程难以替代的。教数学一定要教思维，但是不能空洞地、形式地教思维，而要以数学知识为载体教思维。学数学也一定要学思维，学生学会了“数学方式的理性思维”，将受用无穷。这也是“授人以渔”比“授人以鱼”更加高明的原因。