2011年济南中考数学试题

2011年济南中考数学试题第28题解法集锦章丘市白云湖中学杨玉强一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。在教学中，适时地通过一题多解去激发出学生的智慧，正是数学一题多解的魅力所在，它可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，培养学生的发散思维能力。对数学问题进行“一题多解”,不仅能使我们掌握相应的几种解题技巧,还可以帮助我们全方位地观察问题,多角度多层次地深入理解数学知识,提高数学解题的能力,使我们的思维灵活,解题思路开阔,应变能力增强。例如2011年山东省济南市中考数学试题第28题中第（3）小题的设计独具匠心，思路开阔，解法灵活，综合性较强，有一定的难度，但方法颇多，给学生以广阔的自主探索的空间。以下给出几种颇具代表性的解法，供大家参考。原题：（2011山东济南9分）如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA=CD，CB=CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD=∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；（3）求证：∠APC=∠BPC．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。PNMEDCBA分析：（1）证明∠ACE=∠DCB，根据“SAS”证明全等；（2）由（1）得∠CAM=∠PDM，又∠AMC=∠DMP，所以两个三角形相似；（3）由（2）得对应边成比例，转证△AMD∽△CMP，得∠APC=∠ADC；同理，∠BPC=∠BEC．在两个等腰三角形中，顶角相等，则底角相等．解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，∴∠ACE=∠DCB，又∵CA=CD，CE=CB，∴△ACE≌△DCB．（2）△AMC∽△DMP．理由：∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB，又∵∠AMC=∠DMP，∴△AMC∽△DMP．（3）方法颇多，以下给出几种颇具代表性的解法，供大家参考。一、利用面积相等及角平分线定理解法一：①作CH⊥BD,CQ⊥AE,垂足分别为H,Q.在（1）中证得△DCB≌△ACE后∴AE=BD,S△DCB=S△ACE即21×AE×CQ=21×BD×CH又∵AE=BD解法一图∴CH=CQ又∵CH⊥BD,CQ⊥AE，∴点C在∠APB的角平分线上即：∠APC=∠BPC②在第一种情况下证得CH=CQ后，∵CH=CQ,PC=PC,∠CQP=∠CHP=90O∴△CQP≌△CHP∴∠APC=∠BPC二、利用三角形全等解法二：作CH⊥BD,CQ⊥AE,垂足分别为H,Q.在（1）中证得△DCB≌△ACE后①∴∠PEC=∠PBC又∵∠CQE=∠CHB=90O，CE=CB∴△CQE≌△CHB∴CH=CQ又∵CH⊥BD,CQ⊥AE，解法二图∴点C在∠APB的角平分线上即：∴∠APC=∠BPC②用以上方法同理可证得△CQA≌△CHD∴CH=CQ再用①的方法即可得到∠APC=∠BPC。三、利用四点共圆解法三：在（1）中证得△DCB≌△ACE后∴∠1=∠2,∠3=∠4∴点A、C、P、D四点共圆，点B、C、P、E四点共圆∴∠APC=∠ADC,∠BPC=∠BEC∵CA=CD，CB=CE，∴∠ADC=12（180°﹣∠ACD），∠BEC=12（180°﹣∠BCE）．解法三图∵∠ACD=∠BCE，∴∠ADC=∠BEC，∴∠APC=∠BPC．四、利用三角形相似解法四：在（1）中证得△DCB≌△ACE后，∴∠1=∠2又∵∠AMC=∠DMP∴△AMC∽△DMP∴DMAM=PMCM∴CMAM=PMDM又∵∠AMD=∠PMC∴△AMD∽△CMP∴∠APC=∠ADC解法四图同理可证得△PNC∽△ENB∴∠BPC=∠BEC再用解法三即可得到∠APC=∠BPC。解法五：在（1）中证得△DCB≌△ACE后，∴∠1=∠2∵∠3=∠3∴△APB∽△DCB∴BCBP=DBAB∴ABBP=DBBC解法五图又∵∠3=∠3∴△CPB∽△DAB∴∠BPC=∠DAC同理可证得△APC∽△ABE∴∠APC=∠CBE∵CA=CD，CB=CE，∴∠DAC=12（180°﹣∠ACD），∠CBE=12（180°﹣∠BCE）．∵∠ACD=∠BCE，∴∠DAC=∠CBE，∴∠APC=∠BPC．五、利用平行与三角形相似解法六：①过点A作AF∥BD交PC的延长线于点F,∴∠BPC=∠AFC又∵∠ACF=∠BCP∴△ACF∽△BCP∴ACCB=AFPB在解法五中证得△APB∽△DCB后，PBCB=APDC又∵AC=DC解法六①图∴PBCB=APAC∴ACCB=APPB又∵ACCB=AFPB∴AF=AP∴∠APC=∠AFC又∵∠BPC=∠AFC解法六②图∴∠APC=∠BPC②过点B作BR∥AE交PC的延长线于点R,同理可证得BP=BR∴∠BPC=∠BRC又∵∠APC=∠BRC∴∠APC=∠BPC解法七：①过点B作BW∥CP交AE的延长线于点W,∴∠APC=∠W又∵∠PAC=∠WAB∴△APC∽△AWB∴APAW=ACAB∴APAW-1=ACAB-1即：APPW=ACBC∴APAC=PWBC解法七①图在解法五中证得△APB∽△DCB后，PBCB=APDC又∵AC=DC∴APAC=PBBC∴PW=PB∴∠PBW=∠W又∵BW∥CP解法七②图∴∠CPB=∠PBW,∠CPA=∠W∴∠APC=∠BPC②过点A作AS∥CP交BD的延长线于点S,同理可证得PA=PS∴∠PAS=∠S又∵AS∥CP∴∠BPC=∠S,∠APC=∠PAS∴∠APC=∠BPC六、利用三角形角平分线定理解法八：作CH⊥BD,CQ⊥AE,垂足分别为H,Q.解法八图在解法五中证得△APB∽△DCB后，PBCB=APDC∵AC=DC∴PBCB=APAC∴∠APC=∠BPC（利用三角形角平分线定理）（具体理由如下：∵PBCB=APAC∴ACCB=APPB∵S△BPC:S△APC=BC:AC=21×BP×CH:21×AP×CQ即：ACCB=APPB×CQCH又∵ACCB=APPB∴CH=CQ至此再用解法一即可证出∠APC=∠BPC）点评：此题考查相似（包括全等）三角形的判定和性质，综合性较强，第三问难度较大。归纳与思考：回顾以上各种解法，使用的知识点较多，其中相似三角形、全等三角形的性质和判定为解答提供了主要依托，使解答入口更宽。各种解法有共性，也有差别，观察思考的角度略有不同，思想出智慧，智慧生妙解，妙解巧思令人陶醉。一题多解可以让学生充分发挥自己的数学思维运用能力，让学生能够深刻的理解其中的数学思想，摸索自己的解决方法，在解题过程中升华自己的数学思维，并在吸取别人方法的同时，认识到自己的不足，树立好好学习的信心。一题多解可以让学生培养善于思考的学习习惯，找到问题的最优解法。在肯定学生答案的同时，让他们比较哪种方法最简便。通过比较，历练了学生们的最优化解题意识。这样学生可以从中体会到学习乐趣，感受到自己在学习当中的主体地位，能清楚地意识到自己在学习中的创造和自学的能力，极大地增强了他们学好数学的信心，更培养了他们的发散思维能力。还要引导学生通过解题以后的反思，优化解题过程，总结解题经验，提炼为今后解题可作参考的方法。除了以上的几种常见的解法以外，本题还有其他的解法吗？有兴趣的同学不妨自己去探究。