课件：气体分子热运动速率和能量的统计分布律

主要内容1.介绍统计规律性及速率分布函数2.介绍麦克斯韦速率分布律及速度分布律，三个统计速率3.介绍玻耳兹曼分布律4.介绍能量按自由度均分定律，理想气体的摩尔热容量1、统计规律：分子动理论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热力学性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例如：理想气体压强）六、统计规律性和涨落现象支配大量个别偶然事件的整体行为的规律性称为统计规律性。.................................................................................小球在伽尔顿板中的分布规律.例：扔硬币，伽耳顿(Galton)板若无钉子：必然事件若有钉子：偶然事件由此可见，虽然各个小球在与任一钉子碰撞后向左还是向右运动都是随机的，由很多偶然因素决定。但最终大量小球的总体在各槽内的分布却有一定的分布规律，这种规律由统计相关性所决定。支配大量个别偶然事件的整体行为的规律性称为统计规律性。统计规律的特点：1、只对大量个别偶然事件起作用。2、个别偶然事件的数量越多，统计规律表现得越明显。3、即使对大量偶然事件的整体来说，也存在着涨落现象。2、涨落现象实际观测值与按统计规律求出的平均值之间出现偏离的现象，就叫涨落现象。由于个别和偶然---一定出现涨落现象。事件数量越大---涨落现象越不明显。统计规律永远伴随涨落现象。定义：某一事件i发生的概率为piΔNi----事件i发生的次数N----各种事件发生的总次数limiiNNpN在所有可能发生的事件中，某一随机事件发生可能性（或相对机会）的大小。概率在某种条件下某一事件可能发生也可能不发生的现象称为随机现象（偶然现象）。随机现象可能出现的每一种结果称为随机事件。基本概念统计规律性：在一定条件下，随机事件按一定的概率发生。等概率性：在没有理由说明哪一事件出现概率更大些（或更小些）情况下，每一事件出现的概率都应该相等。当小球数N足够大时小球的分布具有统计规律。limiiNNpN1iiiiiiNNpNN归一化条件...................................................设：ΔNi为第i个小槽中的小球数iiNN小球总数Oxixxi()iipfxx概率分布函数()1iifxx●统计分布最直接的应用是求平均值例如求平均年龄N个人的年龄平均值就是N个人的年龄之和除以总人数N。如果人数很多，可以将人按年龄分组：设ui为随机变量（如年龄），其中出现（年龄）ui值的次（人）数为Ni，则该随机变量（年龄）的平均值为：iiiiNuNuNuuN1122iiiiiuPuPuPuPu1122利用下式可把求平均值的方法推广到较为复杂的情况，从而得到如下的平均值的运算公式：niiiAuAuP1()()实验说明：大量小球按狭槽的分布遵从一定的统计规律。例如：气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。麦氏速率分布处于平衡态的气体，其分子沿各向运动的机会均等，这并非意味着每个分子的运动速率完全相同，而是大量不同运动速度（大小和方向）的分子，在一定条件下所形成的一种热动平衡状态。麦克斯韦速度分布律，是表示气体处于热平衡时，气体的分子数按速度分布的规律。气体分子的速率分布律麦克斯韦速率分布律，是表示气体处于热平衡时，气体的分子数按速度的大小（速率）分布的规律。具有各种速率的分子数各占总分子数的百分比为多少，这种说明方法就叫给出分子按速率的分布。设总分子数N，其中速率分布在v~v+dv速率区间内的分子数dNv一、速率分布函数1.将分子按照速率区间进行分组dNNv速率分布函数表示：速率在v附近的dv速率区间内的分子数占总分子数的百分比。d()fvv表示：速率在v附近的单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比。dd()NfNvvv分子速率分布的概率密度d()dNfNvvv用“概率”来解释dNNv一个分子的速率在v附近dv区间内的概率f(v)一个分子的速率在v附近单位速率区间内的概率00d()d1NNfNvvv归一化条件对所有速率区间()进行积分，即~0概率意义：分子速率的概率密度对所有可能的速率积分就是一个分子具有不管什么速率的概率－即分子速率的总概率（=1）。麦克斯韦速率分布律：在平衡态下，气体分子速率在v到v+dv区间内的分子数占总分子数的百分比为：mkTNmNkTvvvv23/222d4ed2麦克斯韦速率分布函数mkTmfkTvvv23/222()4e2实验和理论证明，分子速率分布函数f(v)的具体形式依赖于系统的性质和宏观条件。二、麦克斯韦速率分布函数与分子质量和温度有关麦克斯韦d()dNfNvvvmkTNmNkTvvvv23/222d4ed2分析麦克斯韦速率分布函数，可得mkTmfkTvvv23/222()4e2（1）当时，，因而；0v()0fvd0NNv（2）当时，，因而；v()0fvd0NNv（3）分布函数存在一个极大值。()fv曲线从坐标原点出发，随速率增大开始上升，经过一个极大值后下降，并渐近于横坐标轴。这表明气体分子速率可取大于零的一切可能的有限值。但分子处在速率小和速率大处单位速率区间中的概率较低，处在中等速率附近处单位速率区间内的概率较高，而处在vp附近单位速率区间中的概率最高。vp称为最概然速率。1.曲线的特征v()fvOvp二、速率分布曲线分子按速率的分布规律v()fvOd()dSfvv表示速率在区间的分子数占总分子数的百分比dvvvvdvvdS物理意义2.小矩形面积dNNd()dNfNvvv3.曲线下的总面积—曲线下所有窄条矩形面积的总和0()d1fvvddNSSNv()fvOvdvvdSd()ddNfSNvvv()fvO1vS2vd()dNNfvv速率位于内分子数dvvv速率位于区间的分子数12vv21()dNSfNvvvv速率位于区间的分子数占总数的百分比12vvd()ddNfSNvv讨论vdvvdS21()dNNfvvvvv()fvO三、三种统计速率pv1.最概然速率d()0dfvvp21.41kTkTmmvp21.41RTMRTMvAA,MmNRNk根据分布函数求得气体在一定温度下分布在最概然速率附近单位速率间隔内的分子数比率最大。pvmaxfpv同一温度下不同气体的速率分布v()fvON2分子在不同温度下的速率分布p1vp2vv()fvOp2RTMv2H2O2pOv2pHv1300KT21200KT★麦克斯韦速率分布曲线的变化表明：温度越高，速率大的分子数越多，分子运动越剧烈。表明：在同一温度下，质量越小，速率大的分子数越多。★应用最概然速率解释太阳系行星上的大气状况2GMR逃v其中，M和R分别是星体的质量和半径对于地球，411.1210ms逃v在500km的高空，气体分子最概然速率vp比v逃小得多，只有少量分子能具有足够的动能，故大气分子失散的很慢。并且质量较小的氢分子能够达到逃逸速率值的概率比氧（及氮）多。对于月球，312.410ms逃v月球上气体分子逃逸得比地球上快，以致已经不存在大气层。法国数学家兼天文学家拉普拉斯于1796年曾预言“一个密度如地球而直径为太阳250倍的发光恒星，由于引力作用，将不容许任何光线离开它。由于这个原因，宇宙中最大的发光体也不会被我们发现。”g22GMRc另外，他曾经和法国著名的化学家拉瓦锡一起工作，测定了许多物质的比热。史瓦西半径2.平均速率v1NiiNvv0()dfvvvv81.60RTRTMMvv()fvod()dNfNvv8πkTm某变量A是v的函数，则A的平均值等于A(v)与概率密度函数f(v)乘积的积分0()()dAAfvvv23201ed2vvv0ddNNNNvv3.方均根速率2v23kTmv2rms331.73kTRTRTmMMvv20()dfvvv2pvvv81.60RTRTMMvp21.41RTRTMMv220dNNvv即v2作为参与统计平均的连续变量242031ed8vvvprms::1:1.128:1.224vvvvrms──用来计算分子的平均平动动能，在讨论气体压强和温度的统计规律中使用。──用来讨论气体输运过程，计算分子运动的平均自由程（平均距离），平均碰撞频率等。vp──由于它是速率分布曲线中极大值所对应的速率，所以在讨论分子速率分布时常被使用。v三种速率应用于不同问题的研究中讨论特征速率例题氧气摩尔质量32.010mol温度27C处于平衡态气体分子的和27273300（K）483(ms)394(ms)447(ms)有10个小球，它们的速率（以m·s−1为单位）分别是0，1.0，2.0，3.0，3.0，3.0，4.0，4.0，5.0和6.0。这些小球的平均速率和方均根速率。平均速率为101.02.033.024.05.06.03.1ms10v方均速率为222222222101.02.033.024.05.06.01012.5msv方均根速率为213.5msv速率在500m·s−1到501m·s−1之间的分子数占总分子数的比例。设氮气的温度为0℃。一般来说，速率在之间的分子数占总分子数的比例为12vv21()dNfNvvvv本例中，因和之差很小，可以认为在这个速率区间内的分布函数值不变，故有1v2vv()NfNvv取11500ms,1msvv0.185%d()dNfNvv课堂练习求速率在区间内的气体分子数占总分子数的比率。pp~1.01vv课堂练习求速率在区间内的气体分子数占总分子数的比率。pp~1.01vv23/222d()d4ed2mkTNmfNkTvvvvvpp0.01vvv2p3/222pp()4e2mkTNmfNkTvvvvv0.040.83%ep2kTmv归一化例题假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为均为正常数，且为已知画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数求速率在区间的粒子数抛物线方程得Max+续上概率分布函数应满足归一化条件本题要求得均为正常数，且为已知假设有大量的某种粒子，总数目为N，其速率分布函数为画出该速率分布函数曲线根据概率分布函数应满足的基本条件，确定系数求速率在区间的粒子数+抛物线方程得Max速率在区间的粒子数得四、麦克斯韦速度分布律在平衡态下，当气体分子之间的相互作用可忽略时，速度分量vx在区间vx~vx+dvx，vy在区间vy~vy+dvy，vz在区间vz~vz+dvz内的分子数占总分子数的比率为：这个结论叫做麦克斯韦速度分布律。dvxdvydvz为速度空间的一个体积元。222322deddd2xyzmkTxyzNmNkTvvvvvv222322,,e2xyzmkTxyzmfkTvvvvvvkekT速度空间的概念:表示分子的速度以其分量vx、vy、vz为轴可构成一直角坐标系，由此坐标系所确定的空间被称为速度空间。vdxvdzvdyvxvzvyvxvzvyvovP＊麦克斯韦速度分布律指明了分子代表点在速度空间体积元dvxdvydvz中的分布情况。d,d,d)xxxyyyzzz(vvvvvvvvv分子代表点ddddxyzvvv速度空间中分子